Pendolo in movimento

[mau21]

Buon pomeriggio:
vorrei chiedere il vostro aiuto per risolvere il seguente problema:
TESTO:
Un pendolo semplice ($l = 0.4 m$) è appeso ad un supporto che si muove orizzontalmente con accelerazione $A = 5 m/s^²$. Calcolare: a) l'angolo di equilibrio rispetto alla verticale e
b) il periodo delle piccole oscillazioni rispetto alla posizione di equilibrio.
Il punto A l'ho risolto considerando un sistema di riferimento non inerziale e mi è risultato $theta_(eq)=27°$ in accordo con il risultato fornito dal mio libro di testo.
Ho però un dubbio riguardo al punto B:
per risolverlo ho considerato stavolta un sistema di riferimento inerziale e lungo la direzione tangente mi è risultato:
$gsin(theta)+Acos(theta)=l(deltatheta^2)/(deltat^2)$.
A questo punto però non so come procedere per due motivi:
1)L'angolo non tende a 0 e dunque applicare gli sviluppi di Taylor non mi aiuta (anche nelle ipotesi di piccole oscillazioni);
2)In ogni caso mi verrebbe un'equazione differenziale di secondo grado non omogenea e io non so come si risolvono.
Potreste aiutarmi a chiarire i miei dubbi?
Grazie mille!
P.S. Il risultato fornito dal libro è $tau=1,2s$, grazie ancora!

[ingres]

Secondo me c'è un segno che non torna nell'equazione che hai scritto (se A=0 dovrebbe tornare la classica
$l (d^2 theta)/(dt^2)+ g sin(theta)=0$ ).

Inoltre non confondere McLaurin con Taylor. Puoi sempre sviluppare con Taylor attorno al punto $theta = theta_(eq)$. Ricaverai così un'equazione linearizzata omogenea che ti permetterà di risolvere il problema.

[mau21]

Ciao Ingres, grazie per il tempo dedicatomi. Effettivamente $gsintheta$ doveva essere negativo.
Quello che però intendevo riguardo a Taylor è che (correggimi se sbaglio) essendo le funzioni seno e coseno derivabili in $RR$, dato un punto $x_0$ esse sono asintotiche al primo ordine a $f(x_0)$ stesse per $x->x_0$.
Questo mi porta a dover applicare lo sviluppo di Taylor fino a $n=1$, però questo complica moltissimo l'equazione: alla fine a me risulta (non mi sembra di aver fatto errori di calcolo):
$l(deltatheta^2)/(deltat^2)+theta(gcostheta_(eq)+sintheta_(eq))=-(Acostheta_(eq)+gcos^2theta_(eq)+sin^2theta_(eq))$.
La prima volta mi era venuta sbagliata per via del segno che mi hai fatto notare, però comunque mi sa di non aver capito qualcosa (eq è qui che ho scritto su questo forum) perchè mi sembra molto strana come equazione risolutiva.
Dov'è che sbaglio?
Grazie ancora!

[mgrau]

Ma guarda mau21 che è molto più semplice. Basta che consideri che il pendolo risente di due accelerazioni: quella di gravità, verso il basso, e quella, diciamo apparente, di $5m/s^2$ all'indietro. Sommando le due, ti viene una accelerazione di $11,2m/s^2$, diretta di circa 26° indietro. Dopo di che, lo tratti come un pendolo normalissimo.

[ingres]

La soluzione di @mgrau è sicuramente più semplice, ma comunque volendo risolvere in modo analitico avremo l'equazione:
$l (d^2 theta)/(dt^2)+ g sin(theta)-A cos(theta)=0$

Ora risulta:
$cos(theta) = cos(theta_(eq)) - sin(theta_(eq))*Delta theta$
$sin(theta) = sin(theta_(eq)) +cos(theta_(eq))*Delta theta$

sostituendo risulta

$l (d^2 Delta theta)/(dt^2)+ g sin(theta_(eq))-A cos(theta_(eq)) + (g cos(theta_(eq)) + A sin(theta_(eq)))*Delta theta=0$

Il termine $ g sin(theta_(eq))-A cos(theta_(eq)) $ è nullo, per cui l'equazione diventa:

$l (d^2 Delta theta)/(dt^2)+ (g cos(theta_(eq)) + A sin(theta_(eq)))*Delta theta =0$

dove il termine $a=g cos(theta_(eq)) + A sin(theta_(eq)) approx 11$ (vedi quanto scritto da @mgrau) e quindi:

$tau = (2*pi)/sqrt(a/l) = (2*pi)/(sqrt(11/0.4) )= 1.2 s$

[mau21]

Grazie a entrambi!
C'è solo una cosa che vorrei chiedere a Ingres: come hai fatto a renderti conto del termine nullo?
Chiaramente se prendi una calcolatrice te ne rendi conto ma c'è anche una maniera di farlo analiticamente?
Io non noto a prima vista alcuna relazione particolare tra il minuendo e il sottraendo.
Comunque grazie ancora per la vostra gentilezza e disponibilità, mi avete aiutato moltissimo!

[ingres]

Si vede, anche a livello dell'equazione completa di partenza, che il termine in questione rappresenta la condizione di equilibrio, ovvero la condizione che permette di trovare il punto di equilibrio.

[mau21]

Quindi, nella condizione di equilibrio, il termine noto dell'equazione del moto armonico semplice è nullo...
Va bene, grazie di tutto!

[mau21]

Scusatemi ancora per il disturbo, potrei farvi un'ultima domanda a cui ho pensato ora?
Premetto che, essendo il corso di Fisica 1 precedente a quello di Analisi 2, io non ho mai visto la teoria sulle equazioni differenziali.
Il prof ha enunciato l'equazione del moto armonico semplice e ci ha detto che per l'esame dobbiamo conoscerne la soluzione.
L'equazione che però noi abbiamo preso in esame è stata:
$X^('')(t)+w^2X(t)=0$.
Ingres, quando hai applicato gli sviluppi di Taylor per poi scrivere l'equazione hai lasciato come coefficente di primo grado $Deltatheta$, che però in teoria sarebbe uguale a $theta-theta_(eq)$.
A quel punto hai considerato il suo coefficente pari a $w^2$ per risolvere l'esercizio.
Quello che però mi chiedo è: l'equazione in questo modo risulta la stessa (con la stessa soluzione analitica) oppure hai sottinteso il passaggio in cui moltiplicavi il coefficente per la parentesi e isolavi i termini non costanti (dipendenti da $theta$) per porli uguali a $w^2$.
Scusate la domanda, probabilmente banale, ma è solo per esserne sicuro, grazie e buona giornata!

[ingres]

Ciao mau21

non ho capito bene il tuo dubbio, ma ti confermo che nell'equazione

1) $Delta theta = theta - theta_(eq)$ e quindi sfrutto anche il fatto che $ (d^2 Delta theta)/(dt^2) = (d^2 theta)/(dt^2)$ essendo $theta_(eq)$ una costante.

2) Ho quindi solo sostituito e messo in evidenza il coefficiente (costante) che moltiplica $Delta theta$ ed eliminato il termine che era nullo.

3) A questo punto l'equazione, dividendo per la lunghezza l, diventa esattamente quella indicata dal tuo docente con $omega^2 = a/l$, le soluzioni sono esattamente dello stesso tipo, ovvero $Delta theta$ sarà una combinazione lineare di $sin(omega t)$ e $cos(omega t)$, e in particolare anche il periodo sarà $tau=(2 pi )/omega$