Conservazione dell'energia in SI non inerziali

[mau21]

Buon pomeriggio,
vorrei porre un quesito di natura puramente teorica al quale non ho trovato risposta ne su internet ne sul mio libro di testo: il principio di conservazione dell'energia meccanica (e la sua estensione al caso in cui agiscano anche forze non conservative) può essere utilizzato anche in un sistema di riferimento non inerziale?
Per logica penso di sì però vorrei avere la vostra conferma al riguardo.
Grazie mille!

[mgrau]

Per logica penso di sì ...!

Ma mi pare proprio di no. Se sei in un sistema accelerato in avanti, per es., vedrai che un oggetto in quiete accelera all'indietro, senza motivo apparente, quindi acquista energia cinetica "a gratis" (come si dice a Milano), quindi che ne è della conservazione?
A meno che non invochi il principio di equivalenza, allora penserai di trovarti in un campo di gravità, per cui l'oggetto sta convertendo energia potenziale in energia cinetica: però in questo caso penserai anche di essere in un sistema inerziale, per cui non è più il tuo caso...

[mau21]

Ciao Mgrau, grazie per il tempo dedicatomi.
La tua spiegazione mi ha convinto (effettivamente non avevo fato il conto di quello che hai detto) però, nel frattempo, ho provato a fare alcuni esercizi sul moto relativo dal mio libro di testo.
Mi potresti aiutare a comprendere la soluzione di questo esercizio (perchè, dopo aver letto la tua spiegazione e la spiegazione del libro di quell'esercizio, mi trovo in alto mare...).
Il testo è il seguente:
TESTO:
Una guida semicircolare liscia verticale, di raggio $R = 0.4 m$, è vincolata a una piattaforma orizzontale che si muove con accelerazione costante $A = 2 m/s²$ lungo la direzione orizzontale. Un corpo puntiforme, inizialmente fermo sulla guida all'estremo del diametro orizzontale, viene lasciato scivolare.
Calcolare la velocità $v_o$ rispetto alla guida quando il corpo giunge nel punto più basso e confrontarla con il valore che si ottiene quando la guida è ferma.

Questa è la soluzione (con relativa spiegazione) che propone il mio libro di testo:
SOLUZIONE PROPOSTA:
Assumendo un sistema di riferimento solidale con la guida, con l'asse y verticale ed x orizzontale, nel verso di moto della guida stessa, e l'origine nel punto più basso della guida, l'energia potenziale è $E_p(X,y)$= $ma_x + mg_y$: il termine $ma_x$ è associato alla forza d'inerzia costante $-ma_tu_x$, così come $mgy$ è associato alla forza peso $-mgu_y$; la forza risultante è costante e quindi conservativa, la reazione vincolare non compie lavoro; dalla conservazione dell'energia meccanica, che vale nel punto di coordinate (-R, R) $-ma R + mgR$ e nel punto di coordinate (0, 0) $1/2 * m * v_{0} ^ 2$, si ricava $v = (2gR-2a,R )^ (1/2) = 2.5 m/s$. Se la guida fosse ferma $v = (2gR) ^ (1/2) = 2.8 m/s$.

Da quello che ho capito, il SI è non inerziale (solidale con la guida) ma il libro applica comunque il principio di conservazione considerando la forza di trascinamento costante e dunque conservativa.
Chiaramente (per evitare fraintendimenti) non sto insinuando che tu o il libro stiate sbagliando, però mi sembrate abbastanza discordanti.
Potesti aiutarmi a capire esattamente come ha ragionato l'autore della soluzione proposta dal libro?
Grazie mille e buona serata!
P.S. L'unica idea che mi viene in mente è che, come hai detto tu, non valga teoricamente, ma, considerando anche le forze apparenti cone forze in gioco, si possa "ovviare" al problema teorico e far valere lo stesso il principio (un po' come la correzione del secondo principio della dinamica).
Può avere senso quello che ho scritto o sono completamente fuori strada?
Grazie ancora per la gentilezza e il tempo dedicatomi, buona serata!

[mgrau]

Partiamo dal tuo esercizio. La questione è sul fatto che si possa utilizzare la conservazione dell'energia. Ora, che la forza risultante sia costante e conservativa direi che siamo d'accordo. Mi pare che la differenza con il mio controesempio sta nel fatto che qui il SR è accelerato ab aeterno, mentre nel mio caso no, prima era fermo, poi accelera. Nel primo caso tutto è indistinguibile da un campo gravitazionale, nel secondo no, e la conservazione dell'energia appare violata dall'apparizione dal nulla di una energia potenziale.
Per cui direi (ma non ci metto la mano sul fuoco) che, per alcuni SR non inerziali vale la conservazione dell'energia, ma in generale no.
Come soluzione, come ti ho già detto in un altro post, io utilizzerei il fatto che ora l'accelerazione non è più verticale e $=g$, ma inclinata all'indietro di $theta = arctg (2/g)$ e ha il valore $a' = sqrt(2^2+g^2)$.
Rispetto a questa accelerazione, il punto più basso non è più tale, come se la guida fosse ruotata di $theta$; non si trova più ad una quota $-R$ rispetto al centro, ma alla quota $-Rcostheta$, per cui la velocità non è più $v = sqrt(2gR)$ ma $v' = sqrt(2a'Rcos theta)$. Una nuova accelerazione $a'$ (maggiore) e un nuovo dislivello $Rcostheta)$ (minore).
Facendo i conti mi viene $a' = sqrt(2^2+9.8^2) = 10$, $theta = arctg(2/9.8) = 11,5°$,
$Rcostheta = 0.4*0.98 = 0,392$, e mettendo tutto insieme $v' = sqrt(2*10*0.392) = 2,8 m/s$, mentre in origine era $v = sqrt(2gh) = sqrt(2*9.8*0.4) = 2,8 m/s$, lo stesso valore, entro la precisione usata. Magari ho sbagliato i conti, oppure ho frainteso l'esercizio.
Naturalmente, potrei anche aver sbagliato l'impostazione ...

[mau21]

Va bene, grazie di tutto!
Buona serata!

[Faussone]

@mau21

Io direi che se nel sistema di riferimento non inerziale le forze apparenti danno luogo ad un campo di forze conservativo si può tranquillamente applicare la conservazione dell'energia tenendo conto dell'energia potenziale di quel campo di forze conservativo appunto; altrimenti, se invece non si può associare alle forze apparenti un campo di forze conservativo allora non si può lavorare solo in termini di conservazione dell'energia, ma occorre tener in conto del lavoro della forza non conservativa esplicitamente, volendo lavorare nel sistema non inerziale. Quindi se l'unica forza apparente da considerare è una forza inerziale costante è un conto, ma se ad esempio appare anche la forza di Coriolis è un altro conto.

[ingres]

Magari ho sbagliato i conti, oppure ho frainteso l'esercizio.
Naturalmente, potrei anche aver sbagliato l'impostazione ..

Probabilmente solo il calcolo dal punto di vista geometrico. Se non ho sbagliato il disegno, questa dovrebbe essere la nuova situazione e quindi dovrebbe risultare come avevi giustamente ipotizzato.

$v' = sqrt(2 a R(cos(theta) - sin(theta))) = sqrt(2*10*0.4*(0.98-0.2)) = 2.5 text( m/s)$

[Quinzio]

Per cui direi (ma non ci metto la mano sul fuoco) che, per alcuni SR non inerziali vale la conservazione dell'energia, ma in generale no.

Si certo.
Vale per tutti i SR che hanno accelerazione costante nel tempo e costante come direzione, a cui si puo' sommare una rotazione di velocita' angolare costante (nel tempo).
In altre parole un osservatore solidale al SR sperimenta un campo di forze costante nel tempo e irrotazionale (non rotazionale).
In altre parole ancora deve esiste il potenziale scalare, che sia costante nel tempo e di classe $C^1$, e il potenziale vettore deve essere nullo.

Nell'esercizio che e' stato proposto il campo di forze e' costante nel tempo e nella direzione, infatti $\bb a = (-2, 0 -g)$, ipotizzando che la guida avanzi nella direzione $x$ e la direzione $z$ sia verticale.

Potesti aiutarmi a capire esattamente come ha ragionato l'autore della soluzione proposta dal libro?

Quello che dovresti capire dell'esercizio e' questo: e' come se la direzione della forza di gravita' avesse cambiato direzione.
E' tutto qui.
Ogni concetto che valeva nel classico campo gravitazionale naturale vale anche in questo caso.