algebra di Clifford

[antdimuro]

Buongiorno, vorre porre una domanda che probabilmente sarà banale ma per me è importante.ù
COnsiderando l'algebra di Clifford p. es. CL(2) questa è composta dagli oggetti :
scalari, vettori e bivettori ai quali si associano punti, lunghezze ed aree.
La mia domanda è:
come è possibile associare uno scalare ad un punto?

Uno scalare è un numero eventualmente associato ad una unità di misura.
Un punto in CL(2) è una coppia ordinata 2 di numeri e quindi di 2 scalari, ad ogni punto quindi corrispondono 2 scalari.
Inoltre effettuando un prodotto scalare tra due vettori se ottengo p. es 5
a quale punto è associato il numero 5? non esiste!
grazie per una eventuale risposta
Antonio Di Muro

[megas_archon]

Riporta che definizione ti è stata data di algebra di Clifford. Non è chiaro che cosa trovi strano, nell'associare uno scalare ad un punto (cosa che, comunque, non è ciò che definisce l'algebra di Clifford Cl(2)).

[antdimuro]

https://geometrica.vialattea.net/partiamo-dalle-basi/
(al fondo della pagina)
ma comunque come si può associare uno scalare ad un punto? una corrispondenza biunivoca tra scalare e punto c'è solo in R, in CL(2) siamo nel piano.

grazie
Antonio

[megas_archon]

ma comunque come si può associare uno scalare ad un punto?

...con un campo scalare? Ho l'impressione tu non abbia chiare le definizioni.

Prima di tutto, in \(Cl(2)\) (sui reali, suppongo) non siano nel piano. \(Cl(2)\) ha dimensione 4. (Anche sui complessi, per un motivo diverso). Secondo, la pagina che hai linkato fa una costruzione un po' troppo elementare delle nozioni di base di algebra geometrica. E' probabilmente utile per capire l'intuizione, ma c'è gran poco di formale. Terzo, non ho idea di cosa non ti sia chiaro a proposito dell'"associare uno scalare a un punto", posto che non capisco dove questo venga fatto. Forse considerando la parte di grado zero di \(Cl(2)\)? Fino a che non è chiaro cosa non ti è chiaro, non posso risponderti.
Le algebre di Clifford si apprezzano quando ti diventa chiara la loro proprietà universale: è solo quella a rendere chiaro cosa siano, esattamente, i bivettori e perché si comportino esattamente così e non altrimenti.

[antdimuro]

SI hai ragione, grazie.
Mi riferivo comunque alla parte di grado zero di CL(2). questa parte è costituita da uno scalare(numero) o da un punto? o è la stessa cosa?
Mi puoi linkare qualche sito che tratta questo argomento in modo serio?
Grazie ancora
Antonio

[megas_archon]

Questa parte è costituita da uno scalare(numero) o da un punto? o è la stessa cosa?

Non saprei come spiegare che questa differenza è totalmente fittizia, dovuta a una scarsa comprensione del testo: probabilmente la differenza che pensi esista tra scalari e punti è che i primi sono numeri, e i secondi sono punti di uno spazio? Un'algebra di Clifford può essere pensata come entrambi. Se questo ti confonde, non saprei come demistificare questa confusione.

Poi, venendo alle referenze:

- il libro di Lounesto http://ti.math.msu.su/wiki/lib/exe/fetc ... pinors.pdf
- il primo capitolo di Lawson https://api.pageplace.de/preview/DT0400 ... 852321.pdf

divertiti. Se capisci questi due, sei capace di scrivere l'equazione di Dirac con gli spinori.

[antdimuro]

Grazie mille!!
Antonio