Aiuto su un problema di Fisica 1

[parsifal_7366]

Buongiorno, sto provando a risolvere un problema sui sistemi di punti materiali. Riporto il testo dell'esercizio:

Un cuneo di massa M, la cui sezione è delimitata da un quarto di cerchio di raggio R, è appoggiato su un piano
orizzontale privo di attrito ed è inizialmente in quiete. Un corpo di massa m è in moto con velocità v0 lungo il
piano orizzontale in direzione perpendicolare alle generatrici della superficie cilindrica, come mostrato in
figura. (a) Quale velocità minima, v0=vmin, deve avere il corpo per arrivare ad una quota pari ad h= R/2 ? (b)
Se la velocità iniziale di m è v0=vmin, calcolare la velocità del cuneo quando m ritornerà sul piano orizzontale.
( Trascurare l’attrito tra il cuneo e il corpo )

Il primo punto è stato risolto in aula; sul secondo ho qualche problema con i calcoli che sembrano essere davvero troppo lunghi






questa è la situazione di partenza per effettuare il calcolo. Potreste darmi una mano?

(v_0 e V sono stati trovati nel punto a)

[mgrau]

Per il punto b): mettiti nel SdR del CM di biglia e cuneo, quando la biglia è in cima è tutto fermo, QM = 0, energia cinetica zero.
L'energia potenziale è quella della biglia.
Quando ricade, l'energia potenziale diventa energia cinetica di biglia e cuneo, si ripartisce come il rapporto inverso delle masse.
Poi ti riporti al SdR fisso, e sei a posto.

[parsifal_7366]

Per il punto b): mettiti nel SdR del CM di biglia e cuneo, quando la biglia è in cima è tutto fermo, QM = 0, energia cinetica zero.
L'energia potenziale è quella della biglia.
Quando ricade, l'energia potenziale diventa energia cinetica di biglia e cuneo, si ripartisce come il rapporto inverso delle masse.
Poi ti riporti al SdR fisso, e sei a posto.

Grazie mille proverò al più presto. Mi sorge un dubbio, non è necessario calcolare la posizione del centro di massa? Oppure si può liberamente fare la tua considerazione e procedere con il calcolo?

[mgrau]

Mi sorge un dubbio, non è necessario calcolare la posizione del centro di massa? Oppure si può liberamente fare la tua considerazione e procedere con il calcolo?

Prima ti ho risposto molto stringatamente perchè ero di fretta.
Vado più in esteso.
Inizialmente la QM è quella della biglia, con velocità $v_min$. Quando è salita in cima al cuneo, è ferma rispetto al cuneo, e tutto si muove insieme in modo che $mv_min = (m+M)v$. Il CM ha pure velocità $v_(CM) = v_minm/(m+M)$.
Nel SdR del CM è $QM = 0$ e $K = 0$. C'è l'energia potenziale della biglia, $mgR/2$.
Quando la biglia scivola giù, QM resta zero. Il rapporto fra la velocità della biglia e del cuneo (i versi sono opposti) è $v_b/v_c = M/m$. L'energia cinetica totale è uguale all'energia potenziale e si suddivide fra biglia e cuneo. Anche il rapporto fra le due energie cinetiche è uguale: $K_b/K_c = M/m$.
Da qui ricavi $v_c$ nel SdR in moto. Basta che gli aggiungi la $v_(CM)$ detta sopra, e hai la velocità del cuneo.

[parsifal_7366]

Mi sorge un dubbio, non è necessario calcolare la posizione del centro di massa? Oppure si può liberamente fare la tua considerazione e procedere con il calcolo?

Prima ti ho risposto molto stringatamente perchè ero di fretta.
Vado più in esteso.
Inizialmente la QM è quella della biglia, con velocità $v_min$. Quando è salita in cima al cuneo, è ferma rispetto al cuneo, e tutto si muove insieme in modo che $mv_min = (m+M)v$. Il CM ha pure velocità $v_(CM) = v_minm/(m+M)$.
Nel SdR del CM è $QM = 0$ e $K = 0$. C'è l'energia potenziale della biglia, $mgR/2$.
Quando la biglia scivola giù, QM resta zero. Il rapporto fra la velocità della biglia e del cuneo (i versi sono opposti) è $v_b/v_c = M/m$. L'energia cinetica totale è uguale all'energia potenziale e si suddivide fra biglia e cuneo. Anche il rapporto fra le due energie cinetiche è uguale: $K_b/K_c = M/m$.
Da qui ricavi $v_c$ nel SdR in moto. Basta che gli aggiungi la $v_(CM)$ detta sopra, e hai la velocità del cuneo.

Come mai la quantità di moto nel centro di massa resta zero nonostante la biglia in un istante successivo inizia a scivolare? forse perchè nell'istante prima (quando ha raggiunto R/2) quest'ultima era zero? Potresti farmi vedere meglio come arrivi al rapporto fra le velocità con le masse? in questi esercizi scrivo sempre (quando questo accade) che $ Delta E_k + DeltaE_p = 0 $ e poi sostituisco, ma non ho mai pensato al rapporto fra le velocità.

Non so se sbaglio ma a me verrebbe da scrivere così: $ 1/2mv_b^2+1/2Mv_c^2-1/2(m + M)V^2-mgh=0 $

[mgrau]

Come mai la quantità di moto nel centro di massa resta zero nonostante la biglia in un istante successivo inizia a scivolare? forse perchè nell'istante prima (quando ha raggiunto R/2) quest'ultima era zero? Potresti farmi vedere meglio come arrivi al rapporto fra le velocità con le masse?

La quantità di moto (orizzontale) si conserva lungo tutta la storia, e vale quella iniziale della biglia. $v_min*m$.
Una volta che la biglia è arrivata in cima, la biglia è ferma rispetto al cuneo, per cui biglia e cuneo formano un tutt'uno, che ha la suddetta QM, e velocità (che a questo punto è anche la velocità del CM) $v_(CM) = v_min*m/(m+M)$.
Ovviamente, nel SdR del CM, la QM è zero, e rimane zero anche quando la biglia scivola giù, nel senso che la biglia scivola da una parte, e raggiunge la base con una certa velocità $v_B$ mentre il cuneo si sposta dall'altra, con velocità $v_C$. Siccome $QM = 0$ deve essere $mv_b = Mv_c$ (a parte il segno), da cui $v_b/v_c = M/m$

[parsifal_7366]

Come mai la quantità di moto nel centro di massa resta zero nonostante la biglia in un istante successivo inizia a scivolare? forse perchè nell'istante prima (quando ha raggiunto R/2) quest'ultima era zero? Potresti farmi vedere meglio come arrivi al rapporto fra le velocità con le masse?

La quantità di moto (orizzontale) si conserva lungo tutta la storia, e vale quella iniziale della biglia. $v_min*m$.
Una volta che la biglia è arrivata in cima, la biglia è ferma rispetto al cuneo, per cui biglia e cuneo formano un tutt'uno, che ha la suddetta QM, e velocità (che a questo punto è anche la velocità del CM) $v_(CM) = v_min*m/(m+M)$.
Ovviamente, nel SdR del CM, la QM è zero, e rimane zero anche quando la biglia scivola giù, nel senso che la biglia scivola da una parte, e raggiunge la base con una certa velocità $v_B$ mentre il cuneo si sposta dall'altra, con velocità $v_C$. Siccome $QM = 0$ deve essere $mv_b = Mv_c$ (a parte il segno), da cui $v_b/v_c = M/m$

Ho fatto i conti; non so se sono giusti, potresti verificare che siano corretti?

[mgrau]

A prima vista direi di sì (ma non chiedermi una verifica dettagliata... ). Quello però che ti faccio notare è che così trovi la velocità nel SdR del CM: per avere la velocità del cuneo (del SdR "fisso") devi sommargli la velocità del CM

[parsifal_7366]

Grazie mille per l'aiuto quello che non mi convince nel calcolo è che non rientra il fatto che la biglia possegga una velocità (v_min). Mi dici di sommare perchè $ v_i = v'_i + v_(CM) $ ?

[mgrau]

Grazie mille per l'aiuto quello che non mi convince nel calcolo è che non rientra il fatto che la biglia possegga una velocità (v_min). Mi dici di sommare perchè $ v_i = v'_i + v_(CM) $ ?

"Non rientra" significa che non viene utilizzato? "Rientra" eccome, è quello che determina $V_(CM)$ attraverso la conservazione della QM nella fase di salita.
E la $V_(CM)$ va sommata perché i calcoli sono fatti nel SdR del CM, per tornare a quello fisso. (Ma $v_i$ cos' è?)