Curve di indifferenza

[HowardRoark]

Sia data la funzione di utilità $U(C,P)= C + 3sqrt(P)$, dove C sono i litri di coca cola e P i litri di pepsi cola consumati in un mese. Devo ricavare le curve di indifferenza.
Poiché le curve di indifferenza sono le curve di livello della funzione di utilità, ho posto $U=10$ esplicitandomi $P$ in funzione di $C$, ottenendo $P=1/9C^2-20/9C+100/9$.
Devo poi commentare se si tratta di beni sostituti, complementari o qualcos'altro.
Probabilmente dalla curva di indifferenza si può dedurre siano beni sostituti, sicuramente non c'è perfetta sostituibilità siccome la curva di indifferenza non è una retta. Nel tratto di parabola che mi interessa (quello che allego a questo messaggio, dall'intersezione della parabola con l'asse $y$ fino a quando è decrescente) la figura è approssimabile abbastanza bene da una retta, quindi forse questo significa un certo grado di sostituibilità tra i due beni.



Poi il libro mi chiede anche di considerare se, al posto della funzione di utilità di sopra, avessi avuto $U(C,P)=(C+3sqrt(P))^2$ o $U(C,P) = 2(C+3sqrt(P))$.

Nel primo caso considero $U=16$ ed estraggo la radice di entrambi membri, ottenendo $P=1/9C^2-8/9C+16/9$; nel secondo ho posto $U=10$ ottenendo $P=1/9C^2-10/9C+25/9$.

Dai grafici di queste due parabole si deduce che alla seconda funzione di utilità corrisponde l'utilità minore e alla terza funzione di utilità una via di mezzo tra la prima e la seconda: a parità di utilità, infatti, la seconda parabola si trova più vicina all'origine degli assi rispetto alla terza e ovviamente rispetto anche alla prima.
Vorrei essere certo di aver fatto tutto bene.

[gabriella127]

Non ho ora il tempo di guardare i tuoi esercizi con calma, questi giorni di festa è un po' difficile.

Però voglio solo farti una osservazione sul'impostazione, così ci puoi pensare.

Perché metti dei valori specifici per trovare una curva di indifferenza? E non metti una costante generica $C$ così trovi tutta la famiglia delle curve di indifferenza? Ti hanno fatto fare così, trovare una specifica curva dando un valore?

Poi non so cosa chiede l'esercizio delle varie funzioni di utilità. Forse solo trovare le curve di indifferenza, o trovare il saggio marginale di sostituzione.

Questo confronto tra funzioni di utilità che fai, con i valori dell'utilità, è un po' strano.
Non si può fare un confronto numerico tra le utilità derivanti da due funzioni di utilità, perché l'utilità ha una natura ordinale, si guarda solo l'ordinamento, non si dà un significato al valore della funzione di utilità.
Non si può dire "Questo paniere di beni dà utilità 10", ma si può solo dire: questo paniere dà una utilità maggiore di quest'altro, questa curva di indifferenza (della stessa funzione di utilità) corrisponde a una utilità più elevata, stop.
Questa è una cosa molto importante, se non l'hai notata riflettici su, se no si rischiano errori.

Tieni presente, non so se lo hai fatto o lo farai, che le stesse preferenze possono essere rappresentate da una infinità di funzioni di utilità, perché (si dimostra) che ogni trasformazione monotona (dove intendono una funzione strettamente crescente composta con la funzione di utilità data) rappresenta le stesse preferenze, perché mantiene l'ordinamento.
Sono cose che ora forse non farai, ma ricorda la natura ordinale della funzione di utilità, è importante altrimenti si rischia di dire cose sbagliate, e pesantemente sbagliate.

Spero di con confonderti, ma le cose che dici nell'esercizio mi suonano strane.

Poi ritorno sull'esercizio quando posso, ora le feste non aiutano.

[HowardRoark]

Perché metti dei valori specifici per trovare una curva di indifferenza? E non metti una costante generica $C$ così trovi tutta la famiglia delle curve di indifferenza? Ti hanno fatto fare così, trovare una specifica curva dando un valore?

Seguo l'approccio delle curve di livello per le funzioni in due variabili: dare un valore all'utilità è un modo per poter rappresentare la curva di indifferenza a cui è associata quell'utilità

Tieni presente, non so se lo hai fatto o lo farai, che le stesse preferenze possono essere rappresentate da una infinità di funzioni di utilità, perché (si dimostra) che ogni trasformazione monotona (dove intendono una funzione strettamente crescente composta con la funzione di utilità data) rappresenta le stesse preferenze, perché mantiene l'ordinamento.

Sapevo che il valore dell'utilità in sé non avesse significato, ma a questo punto penso non abbia senso nemmeno confrontare due curve di indifferenza di due diverse funzioni di utilità per una stessa quota (ad esempio $U(X,Y)=10$).

[gabriella127]

Sapevo che il valore dell'utilità in sé non avesse significato, ma a questo punto penso non abbia senso nemmeno confrontare due curve di indifferenza di due diverse funzioni di utilità per una stessa quota (ad esempio $U(X,Y)=10$).

infatti.

[gabriella127]

Devo poi commentare se si tratta di beni sostituti, complementari o qualcos'altro.
Probabilmente dalla curva di indifferenza si può dedurre siano beni sostituti, sicuramente non c'è perfetta sostituibilità siccome la curva di indifferenza non è una retta. Nel tratto di parabola che mi interessa (quello che allego a questo messaggio, dall'intersezione della parabola con l'asse $y$ fino a quando è decrescente) la figura è approssimabile abbastanza bene da una retta, quindi forse questo significa un certo grado di sostituibilità tra i due beni.

Le risposte sono giuste, i beni sono sostituti, ma non perfetti sostituti.

Come tu dici, non sono perfetti sostituti perché la curva di indifferenza non è una retta.
Però per dire che sono sostituibili non è che devi confrontare o approssimare la curva di indifferenza con una retta, basta il fatto che la pendenza della curva di indifferenza è negativa, ti dice che se aumenti un bene per restare allo stesso livello di utilità diminuisci l'altro bene, quindi li sostituisci, in una proporzione che è misurata dal saggio marginale di sostituzione. Se la curva di indifferenza è una retta, cioè il saggio marginale di sostituzione è costante sulla curva di indifferenza, sono sostituti perfetti (per definizione).
Stop.

Queste con pendenza negativa sono le curve di indifferenza consuete.
Si possono anche immaginare curve di indifferenza diverse, ad esempio se un eccesso di quantità di un bene alla fine diventa una disutilità.
O se invece di un bene siamo in presenza di un 'male', cioè una cosa che ha utilità negativa, un danno, nel qual caso la curva di indifferenza ha pendenza positiva.
Ma in genere si fanno ipotesi, poco restrittive, che escludono questi casi.

Forse avrai visto esempi di questi casi più strambi, ma poi le curve di indifferenza che in genere si usano hanno pendenza negativa, e i beni sono sostituti, o sono a $L$, come nel caso dei beni complementari.