Ciao, ho bisogno di qualcuno che possa aiutarmi su una domanda ignobile (nel senso di piuttosto sciocca).
Purtroppo sono un fisico e il nostro piano di studi non prevede molto di algebra (eufemismo per dire nulla) e trovandomi ad affrontare il corso di meccanica analitica il professore ne da un approccio molto matematico (gemoetria + algebra) e ci ha fatto un enorme preambolo su vari strumenti che utilizzeremo a cui non sono avvezzo tra cui anche algebra di lie e prima ancora parentesi di lie (+ geometria differenziale e suoi vari fibrati).
Ora, credo di non aver capito una questione piuttosto scema ma non so proprio a chi chiedere non avendo mai seguito corsi su questo ed essendo una introduzione al II anno di fisica.
Ad ogni modo venendo alla questione delle parentesi di lie:
Ci è stata definita la parentesi di lie che è in sostanza da quanto ho appreso da queste prime pagine sull'argomento è un campo vettoriale che per definirlo guardo la sua "azione" come derivazione su una funzione f; insomma: $[X,Y](f)=X(Yf)-Y(Xf)$
questo è il campo vettoriale generato da questa operazione della parentesi di lie, che è una operazione che tra le altre cose ha la proprietà di rispettare l'identità di jacobi: $[[X,Y],Z]+[[Y,Z],Z]+[[Z,X],Y]=0$
il mio dubbio sorge nel dimostrarla, nel senso che si va a sviluppare $[XY-YX,Z]+[YZ-ZY,Z]+[ZX-XZ,Y]=0$
Il mio dubbio stupido è che non comprendo perché: $[X,Y]=XY-YX$, perché di fatto io definisco $[X,Y]$ come sua "applicazione su f", $[X,Y]=X(Y*)-Y(X*)$ dove * ci devo mettere la f, se io scrivo $[X,Y]=XY-YX$ perdo il fatto che X agisce su (Yf), scritto così XY-YX mi sembra di perdere la precedenza delle operazioni date dalle parentesi tonde e su cosa agisca su f prima che X agisca su Y.
Scusate il linguaggio improprio ma volevo cercare di trasmettere il dubbio che mi attanaglia.
Grazie e scusate la domanda
PS: per fortuna al III anno abbiamo un corso di geometria differenziale e algebra di lie... peccato che sia dopo questo corso! Geniale. Quindi in qualche modo devo capire i concetti per andare avanti
Addendum: credo di aver appena dimostrato la mia idiozia, mi è venuto in mente che forse quella scritta dal prof era solo una notazione più breve ma che correttamente sarebbe:
$[[X,Y],Z](f)+[[Y,Z],Z](f)+[[Z,X],Y](f)=$
$[X,Y](Yf)-Z([X,Y]f)+[Y,Z](Xf)-X([Y,Z](f))+[Z,X](Yf)-Y([X,Y]f)=.....$