Siano $G,H$ due gruppi, indecomponibili (non so se questo termine esiste in italiano, indecomposable vuol dire che non possono essere scritti come prodotto diretto), a centro banale.
Leggo su Wikipedia che se $G$ e $H$ sono isomorfi allora
\[
Aut(G\times H) \simeq Aut(G)\ w \ \mathbb{Z}_2
\]
dove $w$ e' il prodotto intrecciato (il comando \wreath fa uscire cose strane); in una notazione meno criptica questo si puo' riscrivere come \(Aut(G\times H) \simeq (Aut(G) \times Aut(H)) \rtimes \mathbb{Z}_2\) dove $\mathbb{Z}_2$ agisce scambiando $Aut(G)$ e $Aut(H)$ (che sono isomorfi, quindi piu' precisamente agisce applicando un fissato isomorfismo tra $Aut(G)$ e $Aut(H)$; tutti gli isomorfismi sono coniugati a meno di $Aut(G) \times Aut(H)$).
Piu' in generale, se $G_1,...,G_n$ sono indecomponibili, a centro banale e isomorfi, allora
\[
Aut(G_1 \times ... \times G_n) \simeq Aut(G_1) \ w \ \mathfrak{S}_n = (Aut(G_1) \times ... \times Aut(G_n)) \rtimes \mathfrak{S}_n,
\]
dove $\mathfrak{S}_n$ e' il gruppo di permutazione su $n$ oggetti.
Ancora piu' in generale, se solo alcuni dei $G_j$ sono isomorfi, immagino che l'azione sia data non dall'intero $\mathfrak{S}_n$ ma da un qualche suo sottogruppo (che permuta solo i sottoinsiemi di $G_j$ isomorfi) - questa ultima generalizzazione tuttavia non mi interessa granche'.
Il fatto generale con l'intero $\mathfrak{S}_n$ mi torna inuitivamente, ma sto cercando una referenza precisa (so dimostrare che quel gruppo e' contenuto nel gruppo degli automorfismi, ma non che tutti gli automorfismi sono la' dentro). Tra i testi in bibliografia, wikipedia riporta il Robinson (che mi sembrerebbe l'unico tra quelli citati che puo' contenere una dimostrazione di questo tipo), ma non possiedo una copia cartacea e "sfogliando" il pdf non ho trovato nulla.
Grazie