Successione e quadrati perfetti

[andrea11111]

Buongiorno,

ho un piccolo problema che mi assilla.

avendo \(\displaystyle K+(n^2-1) \)

ho bisogno di sapere per quale \(\displaystyle n \) ottengo un quadrato perfetto.

es.g.:

\(\displaystyle K=590 \)

\(\displaystyle 590+(n^2-1)\)

\(\displaystyle 590+(6^2-1)=590+35 \)

\(\displaystyle 590+35=625 \)

Spero possiate aiutarmi.

Grazie in anticipo

Andrea

[Gi8]

Direi che la domanda che poni può essere riformulata nel modo seguente (quel $-1$ è inutile):
fissato $k in NN$, trovare tutti gli $n in NN$ tali che $n^2+k$ è un quadrato perfetto


Venendo all'esempio tuo particolare:
dobbiamo trovare gli $n$ per cui $n^2+589$ è un quadrato perfetto.
$n^2+589= a^2 <=> a^2-n^2=589 <=> (a-n)(a+n)=589$

Notiamo che $589=19*31$
Le uniche possibilità sono ${(a-n=1),(a+n=589):}$ e ${(a-n=19),(a+n=31):}$
La prima ha soluzione ${(a=295),(n=294):}$, mentre la seconda ${(a=25),(n=6):}$
Dunque ci sono due sole soluzioni: $n=294$ e $n=6$


Aggiungo una cosa: ci sono dei $k$ per cui abbiamo delle soluzioni e dei $k$ per cui non ne abbiamo.
Più precisamente, se $k -= 2 (mod 4)$, cioè se $k$ è pari ma non multiplo di $4$
(ad esempio $k=2$, $k=6$, $k=10$, $k=14$, $k=18$,...) non ci sono soluzioni.
In tutti gli altri casi c'è sempre almeno una soluzione.

[andrea11111]

Voglio inserire K in un algoritmo e tirarmi fuori n.

Così come descritto il processo non è automatizzato. Serve l'interazione umana. Sbaglio?

[Gi8]

Il problema è il seguente: fissato $k$ intero positivo dobbiamo trovare $n in NN$ tale che $n^2+k$ è un quadrato perfetto.
Equivalentemente dobbiamo trovare $a,n in NN$ tale che $a^2-n^2=k$

L'algoritmo è molto semplice, basta distinguere 3 casi
1) $k$ dispari
2) $k$ multiplo di $4$
3) $k$ pari e non multiplo di $4$.

Il caso 3 non ha soluzioni, come ho scritto prima. Infatti, dato che per ogni $m in NN$ vale $m^2 in {0,1} (mod 4)$,
dunque $a^2-n^2 in {0,1,3} (mod 4)$, pertanto $a^2-n^2$ non può essere congruo a $2$ modulo $4$.

I casi 1) e 2) invece hanno sempre almeno una soluzione.
Caso 1: se $k=2h+1$, allora, posto $a= h+1$ e $n=h$ si ha $a^2-n^2 = (h+1)^2-h^2= h^2+2h+1-h^2= 2h+1=k$. OK
Ciò significa che se $k$ è dispari basta prendere $n=(k-1)/2$ (che è intero e non negativo) e $n^2+k$ è sicuramente un quadrato perfetto.

Fai tu il caso 2)