Insieme Quoziente

[Emar]

Buonasera ragazzi,

Mi hanno raccontato che gli algebristi sono pericolosi e mangiano i bambini, però mi sono fatto coraggio e scrivo il mio primo messaggio qui, dato che ritengo sia la sezione più consona. Ovviamente sono ironico

Parliamo di insieme quoziente. Ne so ben poco, ma da quello che so l'operazione di "quozientazione", se così si può dire, si fa rispetto ad una relazione di equivalenza. Fino a qui ci sono. In alcuni casi ho visto "quozientare" rispetto a oggetti diversi, come ad esempio nel caso del toro piatto definito come \(\mathbb{T}^n = \mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n\), dove \(\mathbb{Z}^n\) dovrebbe essere un gruppo (?).

Immagino che "quozientare" rispetto ad un gruppo (sempre che \(\mathbb{Z}^n\) lo sia) sia in qualche misura un abuso di scrittura che sottende implicitamente un "quozientamento" rispetto ad una relazione di equivalenza indotta da gruppo stesso. Mi sbaglio?
Si può "quozientare" rispetto ad altri oggetti?

Grazie in anticipo

[Epimenide93]

Mi hanno raccontato che gli algebristi sono pericolosi e mangiano i bambini

E questa non è neanche vicina ad essere l'azione più crudele di cui sono capaci

da quello che so l'operazione di "quozientazione", se così si può dire, si fa rispetto ad una relazione di equivalenza

Dipende da quello che hai per le mani (gruppi, anelli, spazi topologici, cose più complesse...). Se hai un insieme, quel che dici è corretto, ed è molto vicino ad essere una definizione. Se hai altri oggetti per le mani ti serve sempre una relazione di equivalenza, ma non è sufficiente, si quozienta rispetto a relazioni di equivalenza che "si comportano bene" rispetto agli oggetti che stiamo considerando. È un discorso simile a quello delle sottostrutture, un sottospazio vettoriale \(U \subseteq V\) dev'essere senz'altro un sottogruppo del gruppo additivo di \(V\), ma non basta. Avendo spesso le strutture matematiche un insieme come sostegno, un quoziente lo si fa senz'altro rispetto ad una relazione d'equivalenza, ma non basta. A seconda degli oggetti in questione le relazioni d'equivalenza devono rispettare determinate caratteristiche. Non a caso, vien fuori che c'è un forte legame tra queste relazioni "buone" e alcune sottostrutture, rispetto alle quali si fa il quoziente (sottogruppi normali, ideali, sottospazi topologici, altro...). Questo legame è spesso dato da quelli che si chiamano teoremi fondamentali d'isomorfismo (nel caso algebrico, in quello topologico servono delle considerazioni leggermente diverse). Un altro modo (del tutto equivalente, e forse più geometrico) per vedere la cosa è quello di considerare un quoziente possibile ogniqualvolta si ha un'opportuna azione di un gruppo su una determinata struttura, ma se non sei pratico con le azioni di gruppo questo potrebbe non dirti molto. Questo, tra l'altro, è il modo "corretto" per interpretare la definizione di toro che riporti, in cui si intende che \(\mathbb{R}^n\) (che può essere visto come spazio topologico, gruppo topologico o gruppo di Lie a seconda di quel che ti interessa) viene quozientato rispetto all'azione del gruppo \(\mathbb{Z}^n\) su di esso. Quozientare con le "giuste" sottostrutture non costituisce un abuso né di notazione né di terminologia, è un'operazione ben definita.

[vict85]

Si può fare con qualsiasi struttura algebrica. L'importante è che la relazione sia compatibile con l'operazione.

[garnak.olegovitc]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

l'operazione di "quozientazione", se così si può dire,

ja, si può dire .. io ho incontrato quel termine leggendo (a dire il vero "sfogliando", tanto non mi piaceva ) Fisica Matematica Discreta - Graffi, Degli Esposti

[Emar]

Vi ringrazio delle risposte.

Vi è ancora una cosa che non ho afferrato. Poniamoci per un attimo nella categoria degli spazi vettoriali.
Siano \(\mathbf{V} = (V,+_V,\bullet_V)\) e \(\mathbf{W} = (W,+_W,\bullet_W)\) due spazi vettoriali di dimensione finita sul campo \(\mathbb{F}\). Diremo che \(\mathbf{W}\) è un sottospazio di \(\mathbf{V}\), e scriveremo \(\mathbf{W} \subset \mathbf{V} \) se:

1. \(W \subset V\)
2. \(+_W = +_V\) su W
3. \(\bullet_W = \bullet_V\) su W

Quindi il concetto di sottospazio sottende in primis il concetto di inclusione insiemistica. Lo stesso vale, se non mi sbaglio, per gli spazi topologici, si richiede che valga l'inclusione insiemistica \(Y \subset X\) e, in più, che l'inclusione \(\iota: Y \hookrightarrow X\) sia continua.

Se ho detto qualche imprecisione sarò contento di essere corretto


Quel che mi chiedo è, vale lo stesso per il quoziente? Cioè, oltre alla sovrastruttura, vi è sempre un riferimento al concetto insiemistico di relazione di equivalenza?

Per capire meglio, vorrei soffermarmi sull'esempio del toro piatto (circonferenza) \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\). Come si arriva da questa scrittura ad "incollare" i punti \(0\) e \(2 \pi\)?

[Epimenide93]

Quel che mi chiedo è, vale lo stesso per il quoziente? Cioè, oltre alla sovrastruttura, vi è sempre un riferimento al concetto insiemistico di relazione di equivalenza?

Yes!

Per capire meglio, vorrei soffermarmi sull'esempio del toro piatto (circonferenza) \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\). Come si arriva da questa scrittura ad "incollare" i punti \(0\) e \(2 \pi\)?

Lasciamo perdere per un attimo la struttura topologica di \(\mathbb{R}\) e concentriamoci sui gruppi additivi \(\mathbb{R}\) e \(\mathbb{Z}\). La relazione indotta da quel quoziente è¹ \[x, y \in \mathbb{R}, \quad x \sim y \iff x-y \in \mathbb{Z}\] quindi due numeri reali sono in relazione tra loro se la loro differenza è un intero. Tornando a vedere \(\mathbb{R}\) come spazio topologico² dovresti vedere la retta reale che si avvolge su se stessa a mo' di solenoide infinito (in realtà "schiacciato" su una circonferenza), allineando "in sezione" i numeri con lo stesso sviluppo decimale della parte non intera, ciascun punto di questa circonferenza è un elemento di \(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\), ovvero una classe d'equivalenza di numeri reali. Geometricamente ottieni un "avvolgimento" simile della retta reale sui complessi unitari con la mappa \(x \mapsto \text{e}^{ix}\), e non è un caso. Le classi di equivalenza di \(\mathbb{R} / \mathbb{Z}\) sono infatti le fibre della mappa \(x \mapsto \text{e}^{2 \pi i x}\), com'è facile verificare. Se invece di pensare a tutto \(\mathbb{R}\) ti concentri solo sull'intervallo \([0,1 ] \) (o \([0,2 \pi ] \), a meno di comporre con l'omeomorfismo lineare) hai che ogni elemento dell'intervallo rappresenta una e una sola classe di equivalenza di \(\mathbb{R} / \mathbb{Z}\), tranne gli estremi, che sono nella stessa classe e vengono quindi identificati, ovvero incollati.

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Note

1. a seconda di come viene trattato l'argomento questa può essere una definizione o una conseguenza di altre definizioni; per ora prendila come una definizione. La ragione per cui la relazione è proprio questa la puoi trovare su un qualsiasi testo di algebra. ↑
2. sì, così sto imbrogliando, ma è per semplificare le cose; il tutto si può fare anche senza trucchetti. ↑

[Emar]

Grazie mille Epimenide93, hai pienamente soddisfatto la mia curiosità. Appena ho un po' di più tempo rimugino un po' su ciò che hai scritto, anche se mi pare di aver colto i punti essenziali, molto stimolante l'immagine della molla ($RR$ arrotolato) che si schiaccia/comprime sull'insieme quoziente (se ho immaginato bene).

Grazie molte