da Frink » 19/04/2015, 19:38
Scriviamo $i \circ j$ con $i,j$ automorfismi di $H$. I "corrispondenti" (in che senso lo vedremo tra poco) automorfismi di $G$ sono $\phi^-1 \circ i \circ \phi$ e $\phi^-1 \circ j \circ \phi$.
Componendoli abbiamo $\phi^-1 \circ i \circ \phi \circ \phi^-1 \circ j \circ \phi = \phi^-1 \circ i \circ (\phi \circ \phi^-1) \circ j \circ \phi $ per proprietà associativa, che è uguale a $\phi^-1 \circ i \circ j \circ \phi $. Ma allora questa funzione, chiamiamola $\tau$, che associa a un automorfismo di $H$ un automorfismo di $G$ nel modo sopra scritto ($\tau(x)=\phi^-1 \circ x \circ \phi$) conserva l'operazione. Lo possiamo scrivere per ogni $x \in H$, ed è ovviamente bigettivo (come mai? esercizio).
Questo $\tau$ allora è un isomorfismo di gruppi.
- People think they understand quantum physics. They don't. Only I understand physics. Anyone who says otherwise, can go fuck themselves. - Richard Feynman