Siano \(\displaystyle d\) un numero dispari, \(\displaystyle n\) un numero intero tale che \(\displaystyle\sqrt[d]{n^2}\not\in\mathbb{Z}\) ed \(\displaystyle R=\mathbb{Z}\left[\sqrt[d]{n^2}\right]\)
Proposizione 1: L'elemento \(\displaystyle m^2\sqrt[d]{n^2}-1\) è primo in \(\displaystyle R\); con \(\displaystyle m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\).
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Dimostrazione: Considerata la proiezione canonica:
\[
\pi:\mathbb{Z}[t]\to R=\mathbb{Z}[t]_{\displaystyle/\left(t^d-n^2\right)}
\]
si ha che:
\[
\pi^{-1}\left(\left(m^2\sqrt[d]{n^2}-1\right)\right)=(m^2t-1)\in Spec \mathbb{Z}[t]
\]
quindi \(\displaystyle m^2\sqrt[d]{n^2}-1\) è un elemento primo di \(\displaystyle R\).
Infatti:
\[
\pi\left(\left(m^2t-1\right)\right)=\left(m^2\sqrt[d]{n^2}-1\right)
\]
e l'immagine di un ideale primo mediante un morfismo suriettivo di anelli (commutativi con unità) è un ideale primo
1. \(\displaystyle\Box\)
Proposizione 2: Sia \(\displaystyle p\in\mathbb{P}\) (un numero intero primo); allora \(\displaystyle p\) è un elemento primo di \(\displaystyle R\).
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Dimostrazione: Basta ripetere la dimostrazione della proposizione 1. \(\displaystyle\Box\)
Si ha che:
\[
\left(m^2\sqrt[d]{n^2}-1\right)\left[1+m^2\sqrt[d]{n^2}+\dots+\left(m^2\sqrt[d]{n^2}\right)^{d-1}\right]=m^{2d}n^2-1=(m^dn-1)(m^dn+1)
\]
scomponendo il membro di destra in numeri (interi) primi, si ha per le proposizioni 1 e 2 che \(\displaystyle m^{2d}n^2-1\) ha (almeno) due fattorizzazioni distinte in \(\displaystyle R\); quindi \(\displaystyle R\) non è un U.F.D.
Quod erat demonstrandum \(\displaystyle\Box\)