Teoria insiemistica dubbio

[marco955]

In una dimostrazione ho che dati due insiemi A e B, so per ipotesi che A=B. Secondo voi da tale ipotesi si può inferire per quanto ovvio che sia che C-A=C-B, per un qualunque C, o formalmente devo dimostrare prima il teorema:
$AA A,B,C (A=B)<=>[(C-A)=(C-B)]$

[garnak.olegovitc]

$AA A,B,C (A=B)<=>[(C-A)=(C-B)]$

pardon, avevo scritto prima una cavolata.. se dimostri questa proprietà puoi "inferire" su quanto hai detto prima, è molto semplice dimostrarla, basta sfruttare la doppia inclusione

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

\(\Leftarrow \): prendi un \( x \in A \to x \notin (C-A)=(C-B) \to x \in B\), allo stesso modo se prendi un \( x \in B\)
\(\Rightarrow \): prendi un \( x \in (C-A) \to x \in C \wedge x \notin A=B \to x \notin B \to x \in (C -B)\), allo stesso modo se prendi \( x \in (C-B)\)

[marco955]

Grazie per la risposta garnak
Io la dimostrazione l'avevo fatta nel seguente modo:
Siano A,B e C tre insiemi generici
Ho dimostrato prima
$(A=B)=>[(C-A)=(C-B)]$
$(A=B)<=>[((AnnB)=A) ^^((AnnB)=B)]^^(C-(AnnB)=(C-A)uu(C-B))$(per il primo teorema di De Morgan)$<=>(AAx [(x in (AnnB))<=>(x in A)] ^^ [(x in (AnnB))<=>( x in B)] ^^ [(x in C-(AnnB))<=>(x in (C-A)uu(C-B))]) <=> (AAx [(xnotin(AnnB))<=>(xnotinA)] ^^[(xnotin(AnnB)<=>(xnotinB)]^^ [(x inC ^^ xnotin(AnnB))<=>(x in (C-A)uu(C-B))]^^[(x inC ^^ xnotin(AnnB))<=>(x in (C-A)uu(C-B))]) <=> (AAx, [(xnotin(AnnB))<=>(xnotinA) ^^ (x inC ^^ xnotin(AnnB))<=>(x in (C-A)uu(C-B))]^^[(xnotin(AnnB)<=>(xnotinB)^^ (x inC ^^ xnotin(AnnB))<=>(x in (C-A)uu(C-B))])$ (per la proprietà associativa della congiunzione) $<=> (AAx, [(xnotin(AnnB))<=>(xnotinA) ^^ (x inC ^^ xnotinA)<=>(x in (C-A)uu(C-B))]^^[(xnotin(AnnB)<=>(xnotinB)^^ (x inC ^^ xnotinB)<=>(x in (C-A)uu(C-B))])=> (AAx, (x inC ^^ xnotinA)<=>(x in (C-A)uu(C-B) ^^ (x inC ^^ xnotinB)<=>(x in (C-A)uu(C-B))])$ (per la regola di eliminazione della congiunzione) $<=>([(C-A)=(C-A)uu(C-B)]^^[(C-B)=(C-A)uu(C-B)])<=>(C-A)=(C-B)$

Questa è la prima parte. Il teorema inverso l'ho dimostrato in maniera analoga. Potrebbe andare bene? Grazie per la pazienza

Ps Nella prima parte quando dico $[((AnnB)=A) ^^((AnnB)=B)]^^(C-(AnnB)=(C-A)uu(C-B))$ non posso inferire direttamente $(C-A)=(C-A)uu(C-B) e (C-B)=(C-A)uu(C-B)$ in quanto è quello che dobbiamo dimostrare, ovvero se due insiemi sono uguali ( $A e AnnB$ non posso dire nella dimostrazione che $C-(AnnB)=C-A$. Esatto?

[garnak.olegovitc]

@marco955,
abbi pazienza, sono le 2:00 passate di notte.. a parte che leggo male la formattazione da te scritta delle formule, e poi perchè farla così lunga e poco chiara, puoi fare anche così, sfruttando il fatto¹ che \( \forall X,Y(X \cap Y =X \leftrightarrow X \subseteq Y)\) si ha che \(A=B \to A=(A \cap B)=B \to (C-A)=(C-(A \cap B))= (C-B)\)
Personalmente lo vedo troppo algebrico, mi piace dimostrare in questo modo più in un'algebra di Boole che qui! Ricordati che l'uguaglianza è una relazione logica...

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Note

1. alcuni definiscono in questo modo l'inclusione ↑