Salve ragazzi! Ho qui un po' di esercizi sugli anelli, come al solito qualcosa non quadra o qualquadra non cosa. Il primo sembra molto banale ma non so se lo sia davvero, mi sento un po' stupido a non capirlo.
1.1
Sia A un anello commutativo con identità $1$. Provare per ogni $a,b in A$ le seguenti relazioni (tra le quali la regoletta del "$- * - = +$"):
a) $-(ab) = -(a)b = a(-b)$
b) $(-1)^2=1$
c) $(-a)^2=a^2$
d) $(-a)(-b)=ab$
e) $-(a-b) = -a+b$
f) $-(-a)=a$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari e $(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari.
1.2
Sia A un anello commutativo con identità e sia $\phi$ una relazione $a\phib$ se e solo se $a$ e $b$ sono associati.
- Provare che $\phi$ è una relazione di equivalenza in A.
- Posto $A = ZZ$, determinare $ZZ_{/\phi}$
- E' vero che $[a]+[b ] = [a+b]$ è un'operazione ben definita nell'insieme quoziente $ZZ_{/\phi}$ ?
1.3
Si consideri l'anello $ZZ_11$ con la somma e il prodotto usuali
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
- Stabilire quali sono le unità in $ZZ_11$
- Trovare gli elementi associati a $[2]$ in $ZZ_11$
- Stabilire se $[4]$ è irriducibile o no, in $ZZ_11$
_____
Svolgimento 1.1
Date le proprietà di un anello...:
- Proprietà associativa
- Commutativa
- Esistenza dell'elemento neutro ($0$ per la somma, $1$ per il prodotto)
- Esistenza dell'inverso($-a$ per la somma, $a^-1$ per il prodotto)
- Proprietà associativa del prodotto rispetto alla somma
... dovrebbe risultare semplice muoversi con questo esercizio ma non credo di avere la dimestichezza adatta a svolgerlo, in pratica non saprei quali potrebbero essere i giusti passaggi per arrivare alla conclusione richiesta, ma io ci provo!
a) $-(ab) = -(a)b = a(-b)$
$-(ab)=-ab=-1*a*1*b=1(-a*b)=-1(a)b=a(-1(b))=a(-b)$
b) $(-1)^2=1$
$(-1)^2 = (-1)(-1) =1(-1)(-1)= 1(1)= 1$
c) $(-a)^2=a^2$
$(-a)^2=(-a)(-a)= 1(-a)(-a)= 1(a^2)= a^2$
d) $(-a)(-b)=ab$
$(-a)(-b)=1(-a)1(-b)=-1(a)1(-b)=-(a(-b))= -(a(-1)(b))= -(-a(b))= ab$
e) $-(a-b) = -a+b$
$-(a-b) = -1(a)-(-1(b)) = -1(a)-(-b) = -1(a)+b = -a+b$
f) $-(-a)=a$
$-(-a) = -1(-1(a)) = -(-1(a)) = (1(a)) = a$
g) $(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari e $(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari.
$(-1)^n=1$ se $n$ è un intero pari: $(-1)^{2n} = [(-1)^2]^n = [(-1)(-1)]^n = (1)^n = 1$
$(-1)^n=-1$ se $n$ è un intero dispari: $(-1)^{2n+1} = (-1)^{2n}*(-1) = [(-1)^2]^n * (-1) = [(-1)(-1)]^n *(-1) = (1)^n * (-1) = -1$
Svolgimento 1.2
$a$ e $b$ si dicono elementi associati se esiste un'unità $u in A$ t.c. $a=ub$ e quindi $b=u^-1a$
Dato che siamo in $ZZ$, le unità sono $1$ e $-1$.
quindi ci chiediamo: $\phi$ è relazione di equivalenza? Proviamolo!
- E' riflessiva?
$a\phia rArr a=ua rArr a=1*a rArr a=a$
- E' simmetrica?
$a\phib rArr a=ub rArr a=b$
$b\phia rArr b=ua rArr b=a$
E' transitiva?
$a\phib rArr a=ub$
$b\phic rArr b=uc$
$a\phic rArr a+b=ub+uc rArr a=uc rArr a=c$
Determiniamo $ZZ_{/\phi}$
$ZZ_{/\phi} = {[a]|a in ZZ}$
$[a]={b in ZZ | b \phi a}$
$b=ua$
sappiamo che la nostra relazione $a \phi b$ ci dice che $a=ub$ quindi sostituiamo $b=ua$ in $a=ub$ (giusto )
$a=u(ua) rArr a=(u*u)*a rArr a=a$
quindi il nostro insieme quoziente è formato dalle classi di equivalenza nella forma $a=a$ (esatto )
Verifichiamo con elementi arbitrari $in ZZ$ che le operazioni somma e prodotto sulle classi di resto sono ben definite:
$[1]+[1] = [2] = [1+1]$
$[2]*[2] = [4] = [2*2]$
Svolgimento 1.3
Anello $ZZ_11$ con somma e prodotto usuali sulle classi di resto
$[a]+[b ]=[a+b]$
$[a]*[b ]=[a*b]$
Stabiliamo quali sono le unità:
un elemento $u$ si dice unità (o elemento invertibile) se in $ZZ_11$ esiste il suo inverso rispetto al prodotto denotato con $u^-1$ t.c. $u*u^-1 = u^-1*u = 1$
Quindi
Gli elementi in $ZZ_11$ sono {[0],[1],[2] ,[3] ,[4] ,[5] ,[6] ,[7] ,[8] ,[9] ,[10]}
L'unità è denotata con $[u]*[u^-1]=[1]$ (giusto )
Quindi le sue unità sono:
$[3]*[4] = [1]$
$[2]*[6] = [1]$
$[5]*[9] = [1]$
(quello che non ho capito è se le unità sono 3,2,5 oppure tutte e sei (3,4,2,6,5,9))
Cerchiamo gli elementi associati a $[2]$ t.c. $[2] = [u*b]$
gli elementi associati sono:
$[2] = [5*7]$
$[2] = [9*10]$
Ora l'esercizio ci chiede se la classe $[4]$ è irriducibile oppure no.
un elemento si dice irriducibile se non è riducibile, ossia se non si può decomporre in un prodotto tranne che nel prodotto di un'unità per un elemento associato ad esso.
Quindi $[4]$ non è irriducibile in $ZZ_11$, quindi è riducibile perchè si può scrivere come:
$[4] = [3] * [5]$
Aspetto vostre correzioni e suggerimenti