Esercizi sugli anelli

[onlyReferee]

Ok, ora ho capito però ho un dubbio sul quale vorrei ragionare insieme a te.
[...]

Ben volentieri .

[...]
Se eleviamo prima per $n$ e poi per $2$ otteniamo:

$(-1)^n=1$ se $n$ è pari
$(-1)^{2n}=[(-1)^n]^2=(-1)^n*(-1)^n=(-1)(-1)$ ma dato che $n$ si suppone sia pari, non dovremmo ottenere $(1)(1)$ ? cioè $(-1)^n$ con $n$ pari $=$ $(1)$
[...]

No, attenzione: mi stai mischiando $n$ ed $n/2$ qui . Per evitare di generare confusione in casi come questo conviene sempre utilizzare un nome diverso per i vari valori "in gioco" (nella fattispecie per dire come è scomposto $n$). Ad esempio puoi scrivere che $n = 2 m$ (vedi che ho usato nomi diversi ). Se supponi che $n$ sia pari puoi dire al massimo che $m$ è pari o dispari, ergo $(-1)^n = (-1)^{2m} = (-1)^{m} (-1)^{m}$.

[...]
mentre se eleviamo prima per $2$ e poi per $n$ abbiamo $[(-1)^2]^n=[(-1)(-1)]^n$ poi all'interno delle quadre otteniamo $(1)^n$ e quindi qui possiamo dire che il risultato di $1$, elevato a qualsiasi numero (pari o dispari), è sempre 1.

poi per $n$ dispari abbiamo $[(-1)(-1)]^n *(-1)$ quindi $(1)^n*(-1)$ e possiamo dire che il risultato di 1 elevato ad n (pari o dispari) è sempre 1 e quindi $1*(-1)=-1$
[...]

Sì, questo è corretto. Attenzione però sempre ad usare gli indici nella maniera corretta. In particolare per maggiore chiarezza ti conviene scrivere, se $n$ è dispari, $n = 2m + 1$.
Infine, sottolineo che noi ovviamente sappiamo già che $(-1)^2 = 1$ e pertanto potremmo essere indotti a pensare scrivere $[(-1)^m]^2 = [(-1)^2]^m$ (e di fatto per le proprietà delle potenze lo sanno anche i muri che è così) però appunto, ai fini della nostra dimostrazione, per sfruttare la proprietà b che abbiamo già dimostrato ci semplifichiamo la vita scrivendola nel secondo modo, no

[darkfog]

Ok perfetto! quindi scrivere $[(-1)^2]^n$ e $[(-1)^n]^2$ è la medesima cosa, però in questo caso preferibile usare prima l'elevamento ad $n$ e poi a $2$ per raggiungere la forma desiderata per applicare la proprietà?

Se ho capito bene, allora a questo punto riscrivo g)

$(-1)^n=1$ se $n=2m$ (pari)
Abbiamo $(-1)^{2m}=[(-1)^m]^2=(-1)^m*(-1)^m=1$ giusto?

poi dimostriamo anche $(-1)^n=-1$ se $n=2m+1$ (dispari)
Abbiamo: $(-1)^{2m+1}=[(-1)^m]^2*(-1)=(-1)^m*(-1)^m*(-1)=(1)*(-1)=-1$ giusto?

[onlyReferee]

No, forse non mi sono espresso bene: nell'ultimo mio post ho scritto che è conveniente la seconda forma (quella col quadrato all'interno delle parentesi), non la prima . Se prendi ad esempio quanto hai scritto nel tuo ultimo post riguardo al caso di $n$ pari e consideri che nulla si può dire sulla parità di $m = n /2$ come fai a concludere che il prodotto $(-1)^m (-1)^m = 1$ Si procede analogamente per il caso di $n$ dispari...

[darkfog]

ouch! ok, questa volta ho capito! spero!

Allora scrivo

$(-1)^n=1$ se $n=2m$
$(-1)^{2m}=[(-1)^2]^m=[(-1)(-1)]^m=(1)^m=1$

$(-1)^n=-1$ se $n=2m+1$
$(-1)^{2m+1}=(-1)^{2m}*(-1)=[(-1)^2]^m*(-1)=[(-1)(-1)]^m*(-1)=(1)^m*(-1)=1*(-1)=-1$

[onlyReferee]

Ok, ora è giusto !

[darkfog]

Fantasticooooooooooooo!!!!!!!!!! grazie mille onlyReferee

Ho riletto il thread per svolgere l'esercizio da capo per vedere se lo avessi capito davvero. Lo riscrivo tutto qui e poi ti chiederò un ultimo dubbio sul punto d) che mi è sorto or ora. (oltre alla soluzione che abbiamo già trovato, i punti a) e c) li ho riscritti in un altro modo, sono corretti anche così?)

a)
$−(ab)=(−a)b=a(−b)$
Proviamo che: $−(ab)=a(−b)$
Scrivo: $−(ab)−a(−b)=0$
Si ottiene: $−(ab)−a(−b)=(ab)+a(−b)=a(b−b)=a(0)=0$
oppure, l'ho riscritta in questo modo (dimmi se è ugualmente efficace):
$-a(b)-a(-b)=-a(b-b)=-a(0)=0$

b)
$(−1)^2=1$ (Sfruttiamo la proprietà $(-1)a=-a$
Dobbiamo provare che $(−1)(-1)=-(-1)$
Si ha: $(-1)(-1)+(-1)=0$. Dimostriamolo: $(-1)(-1)+(-1)=(-1)(-1)+(-1)(1)=-1(1-1)=-1*0=0$

c)
$(−a)^2=a^2$
Proviamo che $(−a)^2−a^2=0$
Abbiamo: $(−a)^2−a^2=(-a)(-a)-aa=(-a)(-a)+(-a)(a)=-a(a-a)=-a*0=0$
oppure in questo modo: (dimmi se è corretto), $(-a)^2-a^2=(-a)(-a)-aa=-(-a(a))-aa=aa-aa=a(a-a)=a*0=0$

d)
$(−a)(−b)=ab$
(qui ho da chiederti: per questo punto, non c'è bisogno di arrivare all'uguaglianza $0$,
ponendo $(-a)(-b)-ab=0$
Riscrivo il tuo svolgimento: $(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = -(-ab)$
Mentre il mio è questo, dopo aver posto $(-a)(-b)-ab=0$
$(-a)(-b)-ab=-(-a(b))-ab=ab-ab=a(b-b)=a*0=0$
In realtà la domanda vera e propria è: come mai in alcuni svolgimenti bisogna dimostrare che il risultato è $0$ dopo aver portato il membro destro a sinistra cambiando il segno?
Parlando nello specifico di questo punto d), capisco perchè non lo si è fatto; perchè è evidente che spostare i due "segni meno", fuori dalle parentesi per ottenere $ab$, è più semplice e veloce per arrivare al risultato. sbaglio?

e)
$−(a−b)=−a+b$ (come mi hai consigliato, pongo $c=a-b$)
Proviamo che $−(a−b)+a−b=0$
Si ha: $-c+c=0 rArr -c=-c rArr -a+b=-a+b$

f)
$−(−a)=a$
Proviamo che $−(−a)−a=0$
Si ha: $−(−a)−a=(−a)+a=(a−a)=0$

g)
$ (-1)^n=1 $ se $ n=2m $
$ (-1)^{2m}=[(-1)^2]^m=[(-1)(-1)]^m=(1)^m=1 $

$ (-1)^n=-1 $ se $ n=2m+1 $
$ (-1)^{2m+1}=(-1)^{2m}*(-1)=[(-1)^2]^m*(-1)=[(-1)(-1)]^m*(-1)=(1)^m*(-1)=1*(-1)=-1 $

[onlyReferee]

In tutti e tre i punti a, c e d nelle dimostrazioni che proponi te esegui un'operazione che, stando alle proprietà degli anelli non è prevista, ossia raccogliere secondo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione e non all'addizione (la sottrazione, sebbene si possa vedere come addizione in cui si prende l'opposto del secondo elemento, non è definita negli anelli).
Rispondendo più nello specifico alla tua domanda del punto d, diciamo che non esiste purtroppo una modalità unica e fissa per dimostrare le proprietà. Esistono casi in cui vi è un'unica strada per dimostrare, altri in cui vi sono due modi equivalenti ed entrambi "facili" ed altri in cui ve ne è uno più semplice ed altri che però sono più complessi. Nella fattispecie della proprietà al punto d esattamente come dici te, potendo sfruttare la proprietà a precedentemente dimostrata risultava più facile e veloce portare fuori dalle parentesi i due segni meno.

[darkfog]

Perfetto! Grazie mille onlyReferee Ora il mio quadro sugli anelli è più chiaro. Non sapevo che non si potesse prendere in considerazione la sottrazione associata alla distributività sugli anelli. Grazie ancora sei un angelo

[onlyReferee]

[...]
1.2
Sia A un anello commutativo con identità e sia $\phi$ una relazione $a\phib$ se e solo se $a$ e $b$ sono associati.
- Provare che $\phi$ è una relazione di equivalenza in A.
- Posto $A = ZZ$, determinare $ZZ_{/\phi}$
- E' vero che $[a]+[b ] = [a+b]$ è un'operazione ben definita nell'insieme quoziente $ZZ_{/\phi}$ ?
[...]
Svolgimento 1.2
$a$ e $b$ si dicono elementi associati se esiste un'unità $u in A$ t.c. $a=ub$ e quindi $b=u^-1a$
Dato che siamo in $ZZ$, le unità sono $1$ e $-1$.
quindi ci chiediamo: $\phi$ è relazione di equivalenza? Proviamolo!
- E' riflessiva?
$a\phia rArr a=ua rArr a=1*a rArr a=a$
- E' simmetrica?
$a\phib rArr a=ub rArr a=b$
$b\phia rArr b=ua rArr b=a$
E' transitiva?
$a\phib rArr a=ub$
$b\phic rArr b=uc$
$a\phic rArr a+b=ub+uc rArr a=uc rArr a=c$


Determiniamo $ZZ_{/\phi}$

$ZZ_{/\phi} = {[a]|a in ZZ}$
$[a]={b in ZZ | b \phi a}$

$b=ua$
sappiamo che la nostra relazione $a \phi b$ ci dice che $a=ub$ quindi sostituiamo $b=ua$ in $a=ub$ (giusto )
$a=u(ua) rArr a=(u*u)*a rArr a=a$
quindi il nostro insieme quoziente è formato dalle classi di equivalenza nella forma $a=a$ (esatto )


Verifichiamo con elementi arbitrari $in ZZ$ che le operazioni somma e prodotto sulle classi di resto sono ben definite:
$[1]+[1] = [2] = [1+1]$
$[2]*[2] = [4] = [2*2]$
[...]

Rieccoci qui alle prese con la serie di esercizi. Direi che possiamo passare anche allo svolgimento del secondo se ti va .
Partiamo dal primo punto. Riguardo al tuo svolgimento, noi all'inizio sappiamo soltanto che abbiamo un anello commutativo $A$ con identità (che possiamo indicare con $1$ per semplicità). Pertanto non è corretto quando affermi "[...]Dato che siamo in $ZZ$, le unità sono $1$ e $-1$.[...]". $ZZ$ lo si considera soltanto dal secondo punto in poi.
Poi, al fine di fare chiarezza, è giusto distinguere quando si parla di unità e quando invece di identità in un anello. Di unità (definita come elemento dell'anello che è invertibile) ce ne possono essere anche più di una, l'identità associata ad un'operazione (o meglio l'elemento identità) è invece unica.
Vediamo allora come provare che la nostra relazione $\phi$ è di equivalenza, ossia che $\forall a, b, c \in A$ valgono le seguenti proprietà:

• Proprietà riflessiva: $a \phi a$ è ciò che dobbiamo verificare, nella tua dimostrazione scritto così sembra che tu dia già per scontato che valga dato che ci fai seguire subito l'implicazione. Per far sì che $a \phi a$ valga deve essere, come hai scritto, che $a = u a$, ossia che esista un'unità $u$ dell'anello tale per cui l'uguaglianza sia vera. Esiste tale unità Certo che sì perché nel nostro caso sappiamo, grazie alle ipotesi, che questa vale...(lo hai scritto prima);
• Proprietà simmetrica: anche qui l'ordine della dimostrazione non va bene. Tale proprietà ci chiede di verificare se vale l'implicazione $a \phi b \Rightarrow b \phi a$. Al solito dire che $a \phi b$ signfica affermare che $a = u b$. Viceversa affermare che $b \phi a$ signfica scrivere che $b = v a$, dove $u$ e $v$ sono, al solito, due unità del nostro anello (ho usato apposta due lettere diverse per le due unità perché le stesse potrebbero anche non coincidere). Ora, se sappiamo per ipotesi che $a = u b$ possiamo trovare un'unità $v$ tale per cui $b = v a$ La risposta è affermativa anche in questo caso e la nostra unità $v$ sarà ... Suggerimento: basta che pensi alla definizione di unità di un anello;
• Proprietà transitiva: non ho capito a che pro sommi membro a membro le due prime uguaglianze nella tua dimostrazione. Ci chiediamo pertanto se, dati $a \phi b$ e $b \phi c$, possiamo concludere che $a \phi c$. Le due ipotesi che hai trascritto vanno però modificate leggermente poiché non possiamo assumere direttamente di poter usare la medesima unità $u$ sia per rappresentare $a$ che $b$ in termini di elementi associati. Possiamo dunque scrivere le nostre ipotesi come $a \phi b \Rightarrow a = ub$ e $b \phi c \Rightarrow b = vc$. Per verificare la nostra tesi innanzitutto ci conviene sostituire la nostra espressione per $b$ all'interno di quella di $a$, ottenendo: $a = uvc$. Dato che $u$ è unità possiamo allora scrivere che $a \phi vc$. Questo si avvicina molto alla nostra proprietà che vogliamo provare ma manca ancora un piccolo passo...su cui ti lascio pensare. Suggerimento: ricorda anche qui che abbiamo un'identità.

[darkfog]

Ciao onlyReferee!!!!!!

Esercizio 1.2)
Allora... parto subito scrivendo la definizione di unità: "Un elemento $u in A$ si dice unità (o elemento invertibile) se esiste un suo inverso rispetto al prodotto, ossia un elemento $v$ t.c. $uv=vu=1$"
e riscrivo la definizione di elementi associati: "due elementi $a,b in A$ si dicono associati l'uno all'altro se esiste un'unità $u in A$ t.c. $a=ub$ e quindi $b=u^-1a$. Due elementi sono allora associati se sono uguali oppure sono opposti."

Ora mi cimento a riscrivere bene il tutto con i tuoi consigli

Sia A un anello commutativo con identità e sia $ \phi $ una relazione $ a\phib $ se e solo se a e b sono associati.
- Provare che $ \phi $ è una relazione di equivalenza in A.

Dimostriamo che $ \phi $ è una relazione di equivalenza:
Proprietà riflessiva:
$ a\phia rArr a=ua' $. Da qui ricaviamo $a'=u^-1a$ e sostituiamo:
$a=u*u^-1a=u/u*a=1*a=a$. Abbiamo ottenuto $a=a$ e per definizione "Due elementi associati sono uguali oppure sono opposti" (esatto )

Proprietà simmetrica:
$ a \phi b \Rightarrow b \phi a $
$ a \phi b rArr a=ub$
$ b \phi a rArr b=va$
Sostituiamo $b$ in $a=ub$ ed otteniamo: $a=uva$ e per definizione di unità $uv=1$ quindi anche qui otteniamo $a=a$. E sostituendo in modo analogo $a$ in $b$ si ottiene $b=b$.

Proprietà transitiva:
$ a \phi b ^^ b \phi c -> a \phi c $
$ a \phi b rArr a=ub$
$ b \phi c rArr b=vc$
Per verificare che $a$ è associato a $c$ sostituiamo $b$ in $a$ per ottenere $a=uvc$, e grazie al tuo suggerimento (spero di averlo capito!!!), in $a=uvc$ abbiamo $vc=b$ quindi questo conferma che: $a=ub$, $b=vc$, $a=wc$ dove $w=uv=1$. (esatto )