Domanda di teoria sull'immagine

[Martino]

se è questa seconda interpretazione va in effetti dimostrato.

Cosa va dimostrato?

[nestor]

La doppia inclusione, in quel caso va dimostrata, ossia va dimostrato che le proposizioni coincidono.

Dalla tua domanda capisco che forse non mi sono ancora spiegato e probabilmente è perché la mia domanda è tanto scema che non riesco a farla capire del tutto. Però non ho davvero capito. Provo a spiegare pedantemente:

$A={w∈W : ∃v∈V t.c. f(v)=w}, B={f(v) : v∈V}$

Io fino a che non mi avete risposto ieri ho sempre letto questi due nello stesso modo, quindi pensavo fossero una notazione diversa per dire la stessa cosa, questa: "un elemento g è in B/A se e solo se esiste v tale che g=f(v)". Se quindi sono due "notazioni" diverse per dire la stessa cosa non c'è da dimostrare nulla.


Siccome questa cosa non mi tornava con l'esercizio che prendeva un "per ogni v" ho iniziato a cercare e cercare e ho letto che:

$A={w∈W : ∃v∈V t.c. f(v)=w}$ si legge
a)"un elemento b è in A se e solo se esiste v tale che b=f(v)"

mentre B no, scrivere: $B={f(v) : v∈V}$ vuol dire due cose assieme:
1) Per ogni b∈B esiste v∈V tale che b=f(v)
2) Per ogni v∈V si ha f(v)∈B

Io stavo chiedendo ora se è corretto questo, perché in tale caso vorrebbe dire che devo dimostrare una equivalenza tra (a) e (1 con 2). Questo in pratica dimostrerebbe che sto definendo lo stesso oggetto.

[Martino]

Ok ho capito. D'altra parte dimostrare l'equivalenza tra (a) e (1)+(2) è facile. Hai provato?

[nestor]

Hai provato?

no esatto, non ho ancora provato. Perché prima volevo capire se avessi ben formulato e capito il problema. Cosa di cui non ero assolutamente sicuro.

Con i precedenti messaggi stavo chiedendo se avevo ben interpretato la situazione seguente proprio per poterla dimostrare se fosse così:

$A={w∈W : ∃v∈V t.c. f(v)=w}$ si legge
a)"un elemento b è in A se e solo se esiste v tale che b=f(v)"

mentre B no, scrivere: $B={f(v) : v∈V}$ vuol dire due cose assieme:
1) Per ogni b∈B esiste v∈V tale che b=f(v)
2) Per ogni v∈V si ha f(v)∈B

Si dimostri che le due formulazioni sono equivalenti: a <=> 1+2

così è corretto? se è in questi termini ci provo a dimostrare¹, ovviamente!


Comunque ora mi sorge una domanda: siccome non intendevi di dimostrare questo (del quote) nei tuoi precedenti post. Allora mi chiedo: non ho capito bene cosa mi indicavi di dimostrare . Ormai ne sono curioso.

---

Note

1. non garantisco di riuscire ↑

[nestor]

D'altra parte dimostrare l'equivalenza tra (a) e (1)+(2) è facile. Hai provato?

Ho provato a fare la dimostrazione ma non riesco, o meglio, riesco ma solo a patto che a priori io già sappia che gli insiemi A e B sono A=B, si veda nel seguito del post.

Io sono partito dal fatto che

$A={w∈W : ∃v∈V t.c. f(v)=w}$ si legge
a)"un elemento b è in A se e solo se esiste v tale che b=f(v)"

mentre scrivere: $A={f(v) : v∈V}$ vuol dire due cose assieme:
1) Per ogni b∈A esiste v∈V tale che b=f(v)
2) Per ogni v∈V si ha f(v)∈A

Si dimostri che le due formulazioni sono equivalenti: a <=> 1+2

Nota che se fosse:

$A={w∈W : ∃v∈V t.c. f(v)=w}$ si legge
a)"un elemento b è in A se e solo se esiste v tale che b=f(v)"

mentre B no, scrivere: $B={f(v) : v∈V}$ vuol dire due cose assieme:
1) Per ogni b∈B esiste v∈V tale che b=f(v)
2) Per ogni v∈V si ha f(v)∈B

non funzionerebbe più però la dimostrazione qui sotto. Quindi è come se dovessi già partire sapendo che A=B e quindi devo aver già dimostrato la doppia inclusione credo.

Dimostraz.:
a implica 2
Prendo un qualsiasi $v in V$ e definisco $b=f(v)$, questo è fattibile per definizione di funzione che copre tutto il suo dominio che garantisce esista per ogni v un b di questo tipo. Sfrutto a questo punto la a) nella sua implicazione (<=) la quale mi garantisce che $b in A$ da cui $b=f(v)∈A$

2 implica a (dimostra a nella sua parte "<=")
se per ipotesi esiste $v$ tale che $b=f(v)$, dato che vale 2) per hp, allora $f(v)=b in A$, che era ciò che volevamo

1 implica (a nella parte "=>")
ovvio, infatti è esattamente la riscrittura di a) nell'implicazione "=>"

Rimangono però come dicevo solo due dubbi
- il primo è che
a) è qualcosa tipo (A <=> B)
2) è C
1) è D
io mostro nei tre passaggi che: (A <=> B)=>C, poi che C=>(A <= B) e D=>(A => B)
Non sono del tutto convinto che l'unione di queste tre porti a: (A <=> B)<=>(C & D) che mi sembra invece quello che serve. Però intuitivamente i 3 punti mi sembrano invece giusti. Mi sapresti aiutare a capire perché dimostro proprio (A <=> B)<=>(C & D)?

- il secondo dubbio che mi pongo è però come dimostro che A⊆B e B⊆A? Perché come dicevo io sto già assumendo che l'insime è lo stesso infatti sfrutto la stessa appartenenza ad "A" per dimostrare l'uguaglianza delle espressioni. Detto in altro modo io con il procedimento sopra ho detto che un certo insieme A si può descrivere sia con (a) che con (1)+(2), altra cosa invece è dimostrare che A e B sono lo stesso insieme con la doppia inclusione. Questo non ci riesco.

[megas_archon]

Madoooooo e quanto la stai facendo complicata?! Manco la bibbia ci mette tanto ad arrivare agli squartamenti



Se un elemento b è della forma f(a) per qualche a, è chiaro che esiste a, tale che f(a) = b.

Viceversa, se esiste un a tale che b=f(a), allora b è della forma f(a).

[Martino]

Ma infatti ti manca da dimostrare che (a) implica 1, poi hai finito.

[nestor]

Madoooooo e quanto la stai facendo complicata?! Manco la bibbia ci mette tanto ad arrivare agli squartamenti

Se un elemento b è della forma f(a) per qualche a, è chiaro che esiste a, tale che f(a) = b.

Viceversa, se esiste un a tale che b=f(a), allora b è della forma f(a).

mi ha fatto sorridere il tuo urlo disperato. Lo so hai ragione, non è che io sia molto furbo e me ne scuso, ma ormai mi sono incastrato in questo discorso e credo di doverne uscire . A me però sembra che il tuo modo di procedere non risolva il dubbio sul perché prende "per ogni a". Nei tuoi due casi elencati è un "esiste a", mentre se noti l'esercizio lavora come se fosse "per ogni a"... questo era il punto dubbio.

Ma infatti ti manca da dimostrare che (a) implica 1, poi hai finito.

posso chiederti una cosa su questo?
La cosa che mi fa strano è che non mi ci ritrovo, perché se anche dimostro "(a) implica 1", cioè che
(A <=> B)=>D, sai che non torna?

Io ho messo assieme le (A <=> B)=>C, poi che C=>(A <= B), D=>(A => B) e ora (A <=> B)=>D come suggerisci, ma non è equivalente a (A <=> B)<=>(C & D). Cosa che invece mi serve per concludere. Penso quindi di sbagliare qualche interpretazione ma da solo non capisco proprio che cosa.

[Martino]

Io ho messo assieme le (A <=> B)=>C, poi che C=>(A <= B), D=>(A => B) e ora (A <=> B)=>D come suggerisci, ma non è equivalente a (A <=> B)<=>(C & D).

Non è equivalente, ma lo implica. È questo che ti serve mostrare.

Cioè

(A <=> B)=>C &
C=>(A <= B) &
D=>(A => B) &
(A <=> B)=>D

implica

(A <=> B)<=>(C & D)

(E non viceversa.)

Se non ci credi basta che fai una tavola di verità.

[nestor]

Ho capito solo grazie a quello che hai appena scritto come andava vista la cosa. Io ero convinto di dimostrare per prima (A <=> B)=>(C & D) e poi con le altre due che (C & D)=> (A <=> B) e quindi che valeva il <=>, e non mi usciva.
Invece sono partito dalle ipotesi A <=> B)=>C & C=>(A <= B) & D=>(A => B) & (A <=> B)=>D e ho dimostrato che questo implica (A <=> B)<=>(C & D)

Questa osservazione mi sta insegnando un modo di dimostrare che mi sfuggiva, in pratica se io devo dimostrare un P=>Q, posso, anziché partire da P e mostrare che implica Q fare una cosa del genere: dimostro che per una ipotesi A, vale che A=>(P=>Q), parto cioè da delle ipotesi A che mi dimostrano che P=>Q vale, a quel punto ho dimostrato P=>Q?
Mi sembra questo il gioco fatto. Mi sembra fattibile come modo di dimostrare, vero? Se è giusto è molto utile per il futuro



Detto questo rimane quel dubbio che esprimevo prima. La cosa che non mi torna molto è che nel messaggio dove ho scritto le dimostrazioni (quelle in arancione), io sto mostrando qualcosa di questo tipo:

Dati A$={w∈W:∃v∈Vt.c.f(v)=w}$ e A$={f(v):v∈V}$
Dimostro che:
a)"un elemento b è in A se e solo se esiste v tale che b=f(v)"
è equivalente a
1) Per ogni b∈A esiste v∈V tale che b=f(v)
2) Per ogni v∈V si ha f(v)∈A

Però io sto mostrando che dato un medesimo insieme A, posso leggere A come "a" o come "1 & 2", ma non sto dimostrando che A$={w∈W:∃v∈Vt.c.f(v)=w}$=B$={f(v):v∈V}$.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Avrei in questo caso
Dati A$={w∈W:∃v∈Vt.c.f(v)=w}$
"un elemento b è in A se e solo se esiste v tale che b=f(v)"

e B$={f(v):v∈V}$
1) Per ogni b∈B esiste v∈V tale che b=f(v)
2) Per ogni v∈V si ha f(v)∈B

a implica 2
Prendo un qualsiasi v∈V e definisco b=f(v), questo è fattibile per definizione di funzione che copre tutto il suo dominio che garantisce esista per ogni v un b di questo tipo. Sfrutto a questo punto la a) nella sua implicazione (<=) la quale mi garantisce che b∈A da cui b=f(v)∈A

infatti qui sfrutto la a) che dice b∈A da cui b=f(v)∈A, ma devo sapere a priori che A=B, perché altrimenti avrei b=f(v)∈A ma per avere la 2) dovrei dimostrare che f(v)∈B e qui sarei bloccato.