Domanda di teoria sull'immagine

[Martino]

se io devo dimostrare un P=>Q, posso, anziché partire da P e mostrare che implica Q fare una cosa del genere: dimostro che per una ipotesi A, vale che A=>(P=>Q), parto cioè da delle ipotesi A che mi dimostrano che P=>Q vale, a quel punto ho dimostrato P=>Q?

Certo che no. Se dimostri che A=>(P=>Q) non puoi dedurre che P=>Q. È ovvio che per dedurre che P=>Q devi prima dimostrare A, non ti sembra?

Sul resto che scrivi, stai facendo tantissime costruzioni mentali superflue. Devi dimostrare che A=B con le due inclusioni. Basta che ti ci metti con calma.

È difficile lavorare sulla decostruzione delle tue strutture superflue. Ci devi pensare un po'.

[nestor]

È ovvio che per dedurre che P=>Q devi prima dimostrare A, non ti sembra?

Sì, sono d'accordo, infatti è quello che mi stonava di quanto avevo prima scritto.
Tuttavia, quando dimostro [A <=> B)=>C & C=>(A <= B) & D=>(A => B) & (A <=> B)=>D] implica [(A <=> B)<=>(C & D)] non sto facendo esattamente quello? Io non so se la mia mega ipotesi A:=[(A <=> B)=>C & C=>(A <= B) & D=>(A => B) & (A <=> B)=>D] sia vera, però dico, implica P=>Q:=[(A <=> B)<=>(C & D)]. Mi sembra la stessa cosa A=>(P=>Q).

Sul resto che scrivi, stai facendo tantissime costruzioni mentali superflue. Devi dimostrare che A=B con le due inclusioni. Basta che ti ci metti con calma.

ok certo ci provo. però quello che volevo dire era che quello che ho dimostrato in precedenza (messaggi arancioni) non dimostrano che A=B, solo questo volevo dire. Dimostrano,a parer mio, che le espressioni a), 1 e 2) sono scritture identiche, ma non la doppia inclusione tra A e B. Quella va fatta a parte? Questo chiedevo (se si, ci provo appunto, devo ragionarci un attimino)

[Martino]

A$={w∈W\ :\ ∃v∈V\ t.c.f(v)=w}$
B$={f(v)\ :\ v∈V}$.

Dimostriamo che A=B.

Prima inclusione: $A subseteq B$. Prendiamo $w in A$. Allora esiste $v in V$ tale che $f(v)=w$. Ma allora $w=f(v) in B$.

Seconda inclusione: $B subseteq A$. Prendiamo un elemento di $B$, questo sarà del tipo $f(v)$ per qualche $v in V$. Quello che dobbiamo fare è quindi mostrare che, dato $v in V$, si ha che $f(v) in A$. Sia quindi $w=f(v)$. È ovvio dalla definizione di $A$ che $w in A$.

Fine.

Poi, il problema è che è una dimostrazione del tutto ovvia ed è faticoso scrivere dettagli per dimostrare una cosa ovvia.

Sul resto che scrivi, ti sei dimenticato che la tua "mega ipotesi A" nel tuo caso la hai dimostrata, cioè hai usato il modus ponens: hai dimostrato A, hai dimostrato che A=>(P=>Q) e da queste due cose hai dedotto che P=>Q.

[nestor]

Sul resto che scrivi, ti sei dimenticato che la tua "mega ipotesi A" nel tuo caso la hai dimostrata, cioè hai usato il modus ponens: hai dimostrato A, hai dimostrato che A=>(P=>Q) e da queste due cose hai dedotto che P=>Q.

non avrei mai pensato al modus ponens, ma è vero, ora riesco a vedere perché serve. L'unica cosa che non sono sicuro di aver afferrato è perché la mega-ipotesi A sia dimostrata.
per me dimostrare voleva dire partire da una ipotesi F e mostrare F=>Z, e quindi A non mi pareva alcun F=>Z.
Tuttavia ora che mi ci hai fato porre attenzione, la mega ipotesi A è un agglomerato di (A <=> B)=>C & C=>(A <= B) & D=>(A => B) & (A <=> B)=>D; quindi, correggimi se sbaglio, se ho ben capito questa è dimostrata perché ho dimostrato vera (A <=> B)=>C quindi è tautologia (cioè qualcosa di sempre vero), così come C=>(A <= B), D=>(A => B), (A <=> B)=>D sono sempre vere. Mettendole quindi tutte assieme con "&" ho una tautologia nel suo insieme, cioè A è vera.

Seconda inclusione: B⊆A. Prendiamo un elemento di B, questo sarà del tipo f(v) per qualche v∈V. Quello che dobbiamo fare è quindi mostrare che, dato v∈V, si ha che f(v)∈A. Sia quindi w=f(v). È ovvio dalla definizione di A che w∈A.

qui volevo chiederti: quando io prendo un elemento di B so che sarà del tipo $f(v)$ per qualche $v in V$, il per qualche equivale a dire: prendo un elemento di B so che sarà del tipo $f(v)$ t.c esiste $v in V$. (e proseguo allo stesso modo...) Quello che dobbiamo fare è quindi mostrare che, dato v∈V, si ha che f(v)∈A. Sia quindi w=f(v). È ovvio dalla definizione di A che w∈A.

Mi sembra che finalmente mi sono avvicinato alla comprensione, o almeno ci spero.

[Martino]

Tuttavia ora che [...] ho una tautologia nel suo insieme, cioè A è vera.

Se hai dimostrato A l'hai dimostrata, non c'è molto da aggiungere. Scrivi troppo, concentrati sulla sostanza.

Qui volevo chiederti: quando io prendo un elemento di B so che sarà del tipo $f(v)$ per qualche $v in V$, il per qualche equivale a dire: prendo un elemento di B so che sarà del tipo $f(v)$ t.c esiste $v in V$.

Sì.

[nestor]

Se hai dimostrato A l'hai dimostrata, non c'è molto da aggiungere. Scrivi troppo, concentrati sulla sostanza.

il punto che mi lasciava dubbioso è che non capivo in che modo era dimostrata. Nel senso che dimostrare pensavo volesse unicamente dire mostrare vera una $F=>Z$ e in A, non ci vedo questa struttura. Quindi non ho ben capito in che modo dimostro A, se non c'è una implicazione da mostrare. Era questo che volevo capire più a fondo.




Per il resto direi perfetto, quindi, ricapitolando, dato che ci sono talmente tanti concetti vorrei tirare le fila per avere uno schema.

$A={w∈W : ∃v∈V t.c.f(v)=w}$
che posso leggere "un elemento b è in A se e solo se esiste v tale che b=f(v)"

$B={f(v) : v∈V}$
che posso leggere "un elemento f(v) è elemento di B se e solo se esiste v tale che b=f(v)"

Possiamo dimostrare con la doppia inclusione che A e B sono uguali: A=B

Il dubbio per cui ho aperto questa discussione era capire un fatto fondamentale: dato che A e B vogliono dire quanto sopra, e richiedono l'esistenza di un $v$, perché quando cerco l'immagine di $f$ prendo un per ogni $v$.

La risposta si ha dal fatto che, come dimostrato:
a)"un elemento b è in A se e solo se esiste v tale che b=f(v)"

1) Per ogni b∈A esiste v∈V tale che b=f(v)
2) Per ogni v∈V si ha f(v)∈A

si equivalgono e quindi come si legge da 2) vale "per ogni" appunto, proprio come volevamo. Questo giustifica formalmente perché per trovare l'immagine posso prendere un qualsiasi v e calcolarmela applicando f.
A parte quel piccolo dubbio sopra, questa parte mi sembra corretta

[Martino]

dimostrare pensavo volesse unicamente dire mostrare vera una $F=>Z$ e in A, non ci vedo questa struttura. Quindi non ho ben capito in che modo dimostro A, se non c'è una implicazione da mostrare. Era questo che volevo capire più a fondo.

Ma A l'hai dimostrata, non ti ricordi? Tu hai scritto

A:=[(A <=> B)=>C & C=>(A <= B) & D=>(A => B) & (A <=> B)=>D]

E nel caso tuo (immagine di funzione: ripercorri i messaggi) questa A l'hai dimostrata.

A parte quel piccolo dubbio sopra, questa parte mi sembra corretta

Ok, l'importante è che tu ti sia capito! Io in molte cose faccio fatica a seguirti, il punto è che se hai capito lo sai, non hai bisogno della conferma di qualcuno

(E di chi poi? Di un oracolo? Se qualcuno ti dice che hai capito non significa che tu abbia capito - se hai capito o no lo sai solo tu).

[nestor]

E di chi poi? Di un oracolo? Se qualcuno ti dice che hai capito non significa che tu abbia capito - se hai capito o no lo sai solo tu

hai ragione. E' così, ma certe volte sono intimorito dal non essere proprio lineare nel mio pensiero. E' un ottimo insegnamento questo e ne voglio far tesoro come tutti gli altri che ho imparato in questa discussione con te e voi altri. E' un continuo migliorarsi


Invece su questo vorrei ancora poterti chiedere una mano perché sento che non ci sono ancora. Non sono arrivato al dunque, lo sento dentro di me.

Ma A l'hai dimostrata, non ti ricordi? Tu hai scritto

A:=[(A <=> B)=>C & C=>(A <= B) & D=>(A => B) & (A <=> B)=>D]

E nel caso tuo (immagine di funzione: ripercorri i messaggi) questa A l'hai dimostrata.

quello che volevo dire è che per dimostrare qualcosa io immagino sempre un dimostrare una implicazione F⇒Z.
Quando invece ho "dimostrato A", come cerchi di farmi intuire tu, a me sembra che ho dimostrato in modo separato varie implicazioni (o biimplicazioni a seconda dei casi). Quindi è una struttura diversa da F⇒Z, io dimostro (A <=> B)=>C poi C=>(A <= B) ecc ecc.. collegando poi tutte queste con le & è comunque un dimostrare? E' questa parte che mi sfugge sebbene molto scema, probabilmente.

Inoltre, sempre correlato a questa non comprensione che avverto è dovuta anche al fatto che il modus ponens ha una tavola di questo tipo

quello che fa le veci di A in questo caso è p, e p in realtà ha valori sia veri che falsi come si vede in prima colonna, quindi non comprendo pienamente perché dovrei "dimostrare A vera". Il modus ponens dovrebbe uscire dalla tavola anche con A falsa. Quindi perché mi curo di dimostrarla?

[Martino]

collegando poi tutte queste con le & è comunque un dimostrare?

Sì certo! Puoi benissimo dimostrare cose che non sono singole implicazioni ovviamente. Per esempio se dimostri due implicazioni distinte hai in questo modo dimostrato l'AND di due implicazioni, non ti sembra? E l'AND di due implicazioni non è un'implicazione. Davvero non capisco perché tu ti faccia tutte queste costruzioni mentali.

Il modus ponens dovrebbe uscire dalla tavola anche con A falsa. Quindi perché mi curo di dimostrarla?

Dai ma scherzi? Quella tabella di verità dimostra che il modus ponens è vero, e grazie tante, sarebbe una scoperta secolare aver mostrato che è falso! Non ti sembra?

Se devi dimostrare una certa proposizione Q, ti basta mostrare P e P=>Q (entrambe) per dedurre Q. Fai bene attenzione: qui quello che vuoi dimostrare è Q, non il fatto che (P & (P=>Q)) => Q (che è una tautologia).

[nestor]

Mi sembra che il problema si sia ristretto. Tutto il resto è ben risolto.

Però c'è questa cosa che non capisco sul modus ponens.

Da quel poco che so in generale per "dimostrare un teorema" (o meglio una proposizione data dall'implicazione) si intende dimostrare un P=>Q. Cioè, diciamo così, ottenerne una tautologia. Fin qua direi nulla da dire.


Diverso il caso di voler dimostrare Q

Se devi dimostrare una certa proposizione Q, ti basta mostrare P e P=>Q (entrambe) per dedurre Q.

Da questo discorso mi sembra di capire che quelle volte che voglio invece dimostrare Q, procedo come dici tu: dimostro P, mostro poi che P=>Q è vera/tautologia e deduco Q vera (♧).

Però questo non è il modus ponens, il modus ponens é: (P & (P=>Q)) => Q. Il quale dice: date le ipotesi (P & (P=>Q)), la proposizione (P & (P=>Q)) => Q nel suo complesso è vera. Nulla da obiettare sul fatto che sia una tautologia, non ho scoperto un bel niente di nuovo come hai detto .

Tuttavia prima avevi scritto

ti sei dimenticato che la tua "mega ipotesi A" nel tuo caso la hai dimostrata, cioè hai usato il modus ponens: hai dimostrato A, hai dimostrato che A=>(P=>Q) e da queste due cose hai dedotto che P=>Q.

ed è qui che casca l'asino (cioè io ).
Da questo quote mi era parso di capire che volessi usare il modus ponens, ma non ho capito in che modo.
Dando il seguente significato ai termini:
A:=[(A <=> B)=>C & C=>(A <= B) & D=>(A => B) & (A <=> B)=>D]
P=>Q:=[(A <=> B)<=>(C & D)]

Dimostro A, dimostro A=>(P=>Q) concludo che P=>Q è vera, questo sarebbe il medesimo ragionamento di (♧), quello che prima chiamavo Q è ora il mio P=>Q che ho dedotto, e mi va bene.
Ma allora non ho capito perché parlavi del modus ponens, perché il modus ponens non dovrebbe essere la tabella che ho postato e che è una tautologia automaticamente?
Non avendo capito questo passaggio ho scritto la cosa sbagliata di prima.