Esiste unico (dimostrazione)

[G.D.]

Innanzitutto mi scuso con Martino se ho dato l'impressione di voler fare il maestrino: non era mia intenzione ma la sola comunicazione scritta ha, purtroppo, i suoi difetti, specie quando si va di fretta.

In ogni caso, quello a cui volevo arrivare era proprio questo passaggio:

(1) io ipotizzo esista un animale x che è cane e dimostro che: x è cane => x è mammifero

No non è questo che fai. Nel punto (1) dimostri che "ogni cane è mammifero". Cioè che per ogni x, "x cane" implica "x mammifero".

volevo cioè che ganxi si rendesse conto che \(\mathscr{P}(y) \leftrightarrow y = x\) permette di avere esistenza e unicità solo se è preceduto da \(\forall y\) mentre per come aveva scritto lui il suo schema di ragionamento lasciava intendere (almeno a me) che questo dettaglio gli/le fosse sfuggito. Ed infatti poi ha fatto l'esempio con i cani e i mammiferi con cui ha confermato il mio sospetto. E se notate l'esempio che ho fatto io con le equazioni funzionali era fallace proprio perché andavo a fare ipotesi restrittive sull'equazione funzionale verificante la proprietà assegnata, anziché prenderne una generica.

Tutto qua.

[Martino]

Ok ho capito, scusa il fraintendimento

[G.D.]

Ok ho capito, scusa il fraintendimento

Figurati: ho sbagliato io nello scrivere andando di fretta.

[Il_Gariboldi]

La mia domanda è molto scema ma mi interessa particolarmente, proprio perché basilare, ma non ho mai formalizzato alle superiori a dovere e credo sia un buon momento avendo letto qui.

Ho letto proprio tutta la discussione che ho trovato molto utile per fissare le idee su una tipologia di dimostrazione e volevo chiedere una cosa a Martino o G.D. o comunque qualcuno esperto:
Avete sudetto che:
a) $X$ verifica $P(X) => X=F$ (vuol dire: se esiste X che verifica la P, allora X unico essendo uguale a F)
b) si prende $X=F$ e si mostra che F soddisfa P (ci dice: esiste X)

La mia domanda verte sui quantificatori e più che sul punto b) mi soffermo su a):
- quando dimostro $P(x) => Q(x)$ generalmente si legge "per ogni x che verifica P(X) allora Q(x)"
- quindi se leggo la a) dovrei qundi dire (o meglio mi verrebbe da leggerla come) "per ogni X che verifica P(X) allora X=F". Però sto usando per ogni e non se esiste, ma prima ho scritto che è da leggersi come "se esiste X..." e ho bisogno di un se esiste a conti fatti.

Non ho quindi capito se formalmente quando scrivo $P(x) => Q(x)$ sia: se esiste x che verifica P(x) => Q(x). O forse meglio sarebbe: $AA x,$(se esiste x tale che P(x) => Q(x)) al posto del classico: $AA x, (P(x) => Q(x))$?
E quindi dovrei leggere a sua volta la a) come $AA$ X, (se esiste X che verifica P(X) allora X=F)?
Non mi è chiaro perciò come inserire quell'esiste nella dicitura che di solito richiede un per ogni
nella struttura delle implicazioni ($AA x, (P(x) => Q(x))$).

Nascono quindi tre domande che qui schematizzo e sono implicite nel discorso precedente che ho scritto:
assunto: $P(x) => Q(x)$
1) posso altresì leggerlo come se esiste x tale che P(x) allora Q(x) al posto del classico per ogni x tale che P(x) allora Q(x)?
2) E' invece forse da leggere: $AA x,$(se esiste x tale che P(x) => Q(x)) al posto del classico: $AA x, (P(x) => Q(x))$?

Per quanto riguarda invece il punto a)
3) la a) è quindi da leggere come $AA$ X, (se esiste X che verifica P(X) allora X=F)? O se così non fosse come concilio l' "esiste" rispetto al "per ogni" tipico delle implicazioni dimostrative: $AA x, (P(x) => Q(x))$?

Vorrei vederci più chiaro su come strutturarle se qualcuno avesse voglia di spiegarmi.

[megas_archon]

La mia domanda verte sui quantificatori e più che sul punto b) mi soffermo su a):

La tua domanda dovrebbe vertere sul fatto che se non esiste nessun $X$ tale che $PX$, allora a) è sempre vera. Questo è il motivo per cui per mostrare che qualcosa esiste ed è unico va mostrato che esiste e che è unico.

Sembri sottovalutare enormemente il fatto che uno schizzo di s-
di simboli buttato sul foglio, a priori, potrebbe non voler dire niente (questa è la resa informale di "la seguente costruzione è ben definita:", il cui scopo è proprio controllare che l'oggetto definito è definito "bene", cioè ha effettivamente una controparte: in una parola sola "esiste").

Fatto questo, ci si può occupare di mostrare che esso è unico. Ma la dimostrazione di unicità non dipende da quella di esistenza, né viceversa.

[Il_Gariboldi]

Mi rendo conto che forse quello che mi crea grattacapi è questa considerazione. Vediamo se rigirandola così risulto spero più dirimente sul dubbio.

Come scrive Martino qui (esempio di dimostrazione di esistenza e non di unicità ovviamente)

Sì G.D., ma (almeno per quanto mi riguarda) la discussione riguardava l'esistenza e unicità della soluzione. Se non si ha l'unicità si devono ovviamente fare piccole modifiche. Tu stai parlando di un caso in cui si ha l'esistenza ma non l'unicità. Cioè stai dimostrando che "$X$ soddisfa $P$ se e solo se $X in S$" dove $P$ è una certa proprietà e $S$ è un certo insieme.

Per esempio cerchiamo le funzioni derivabili $f:RR to RR$ tali che (*) $f'=f$ e dopo dei conti troviamo che, se vale (*), allora $f$ dev'essere necessariamente del tipo $f(x)=c*e^x$ con $c in RR$. Ora mostriamo (facilmente) che per funzioni di questo tipo vale $f'=f$. Questo mostra che le soluzioni di (*) sono tutte e sole del tipo $f(x)=c*e^x$. Cioè l'insieme delle soluzioni è l'insieme $S$ delle funzioni del tipo $c*e^x$.

Quello che si fa è quanto segue:

Dimostrazione di esistenza (argomento del thread)
1a) X verifica P(X) => $X in S$: la mia proprietà è che $f'=f$ e dico se esiste f per cui vale questa proprietà allora f è dell'insieme delle funzioni tipo $f(x)=c*e^x$. Quello che dico è "se esiste X che verifica P(X) allora Q(X)".
2a) non ho però ancora verificato l'esistenza (ho prima solo supposto esistesse f) e lo faccio assumendo $f(x)=c*e^x$=Q(X) e mostro "se Q(X) allora ho X che verifica P(X)".
L'esistenza si riduce a dimostrare i due versi dell'implicazione ossia l'avere " X che verifica P(X) <=> Q(X)=$X in S$".

Dimostrazione classica
Mi accorgo (sempre usando gli esempi riportati) che quando considero una biimplicazione del genere è del tutto identica a:
1b) "X animale che verifica P(X)=essere cane => X è un animale con antenato comune un certo lupo", questa però si legge per ogni X che verifica P(X) => Q(X). E noto una differenza con il caso precedente: non suppongo l'esistenza del cane¹, prima dicevo "se esiste X tale che P(X)", mentre qui dico "per ogni X tale che valga P(X)" eppure sono sempre di fronte a una =>.
2b)posso dimostrare anche qui l'altra implicazione: "X è un animale con antenato comune un certo lupo => X animale che verifica P(X)=essere cane". Ma non è che facendo questo sto dimostrando che esiste un animale cane che in 1b) ho supposto esistere.
In poche parole anche qui ho: "X che verifica P(X) <=> Q(X)=$X in S$" ma non sto dimostrando una esistenza dell'animale cane, mentre di là dimostravo una esistenza di f, ma io sto esattamente facendo la stessa dimostrazione, ed è questo che volevo evidenziare col mio discorso.

Il mio dubbio quindi è se P(X)=>Q(X) si legge per ogni X (P(X)=>Q(X))$ come introduco il senso visto in 1a) di se esiste X, (P(X)=>Q(X)).
Mi sembra di sfruttare l'implicazione in due modo diversi ma non riesco a focalizzare dove sia la reale differenza.

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Note

1. non dico "supponiamo esista un animale x cane" ↑

[Il_Gariboldi]

Volendo essere ancora più chiari legandomi al mio ultimo messaggio, per chi odiasse le troppe parole:

Inverto i punti del mio precedente messaggio a <-->b, per comodità di esposizione:
Dimostrazione classica
1b) dimostro $AA X$,(X soddista $P(X)$ => $X in S$)
2b) l'inverso: $AA X$,($X in S$ => X soddista $P(X)$)
Quindi
1+2) $AA X$,(X soddista $P(X)$ <=> $X in S$)

Dimostrazione di esistenza (argomento del thread)
1a) mi sembra dimostrare: $∃X$,(X soddista $P(X)$ => $X in S$)
2a) $AA X$,($X in S$ => X soddista $P(X)$)
Come posso dire che 1+2) dimostra la <=>?! Nel primo punto è usato esiste non per ogni.

per questo dico che nella mia mente quell'esiste dovrebbe essere un per ogni, eppure nel punto 1 procedo dicendo: suppongo esista f, esista soluzione ecc ecc chi più ne ha più ne metta.

[Martino]

Il mio dubbio quindi è se P(X)=>Q(X) si legge per ogni X (P(X)=>Q(X)) come introduco il senso visto in 1a) di se esiste X, (P(X)=>Q(X)).
Mi sembra di sfruttare l'implicazione in due modo diversi ma non riesco a focalizzare dove sia la reale differenza.

La formulazione corretta è

(*) "per ogni X, P(X) => Q(X)".

L'altra frase che scrivi (*) "se esiste X tale che P(X) allora Q(X)" non è logicamente ben formata perché "esiste X tale che P(X)" sta dicendo che P è soddisfatta da qualcosa e in essa X è una variabile muta. Quindi poi quando scrivi Q(X) non sai più chi è X.

Quindi limitati a (*) per evitare confusioni. Per dimostrare (*) si prende X che soddisfa P(X) e si dimostra Q(X). L'esistenza di un certo $X_0$ che soddisfa P è del tutto irrilevante.

[Il_Gariboldi]

Ti ringrazio molto per il tuo intervento.

Come dicevo nell'ultimo messaggio mi accorgevo che non funzionasse per il motivo che... non funzionerebbe.

Dimostrazione di esistenza (argomento del thread)
1a) mi sembra dimostrare: $∃X$,(X soddista $P(X)$ => $X in S$)
2a) $AA X$,($X in S$ => X soddista $P(X)$)
Come posso dire che 1+2) dimostra la <=>?! Nel primo punto è usato esiste non per ogni.

per questo dico che nella mia mente quell'esiste dovrebbe essere un per ogni, eppure nel punto 1 procedo dicendo: suppongo esista f, esista soluzione ecc ecc chi più ne ha più ne metta.

Credo che a fuorviarmi sia il fatto che diciamo "se esiste". Sempre ragionando per esempi così da essere chiaro senza sprecare i polpastrelli

Esempio: trovare gli $x$ positivi tali che $sqrt(x)=-1$. Se la soluzione esiste allora è unica, infatti se $x$ è soluzione allora elevando al quadrato otteniamo $x=1$. Quindi se una soluzione esiste è unica, essendo uguale a $1$. D'altra parte non esiste soluzione, perché come abbiamo appena mostrato l'unica possibile soluzione è eventualmente $1$ ma $1$ non è soluzione perché $sqrt(1) = 1 ne -1$.

Quindi se ho ben capito è anche qui un "per ogni?"
Però quello che fatico a capire è che io ho bisogno di dire "se esiste", perché io non ho la certezza che esista, ma buttandoci dentro quel se esiste non riesco più ad avere un utilizzo del "per ogni".
Quindi mi chiedo, come dovrei rendere dignità a questo fatto?

[Martino]

La formulazione più corretta è

"per ogni $x$, se $sqrt(x)=-1$ allora $x=1$"

e più in generale

(**) "per ogni $x$, se $P(x)$ allora $x=S$".

Questo significa che l'insieme degli $x$ che soddisfano P è contenuto in ${S}$, cioè è uguale a ${S}$ oppure è vuoto.

Per dimostrare (**) si prende un $x$ che soddisfa $P$ supponendo appunto che un tale $x$ esista, perché se non esiste nessun $x$ che soddisfa P allora (**) è automaticamente vera, per definizione di implicazione logica.

Quindi quando diciamo "esiste x tale che P(x)" siamo fuori dall'implicazione logica, la stiamo dimostrando.

E detto questo mi fermo qui perché non voglio scrivere altre dieci pagine, prova a pensarci su ciao.