Irriducibilità dei polinomi $x^n+px^(n-1)+p^2x^(n-2)+...+p^(n-1)x+p^n$ con $n$ pari e $p$ primo

[Francesco71]

Grazie alle vostre osservazioni, soprattutto alle ultime due con la scomposizione nei complessi di j18eos e

Beh, contando che il grado massimo di un polinomio irriducibile su \( \displaystyle \mathbb{R} \) è \( 2 \), c'è qualcosa che non quadra. Il fatto è che le radici complesse di un polinomio a coefficienti reali sono a due a due coniugate, quindi il rispettivo prodotto (dei fattori di grado \( 1 \) in \( \mathbb{C} \) associati a quelle radici) sarà un polinomio di grado \( 2 \) a coefficienti reali. Il problema in questo caso diventerebbe quello di trovare un modo a priori per dire che sebbene reali, le radici dei polinomi di grado \( 2 \) che vengon fuori nella fattorizzazione in irriducibili su \( \mathbb{R} \) non sono razionali.

immagino volessi dire "i coefficienti" invece delle radici,
mi hanno dato lo spunto giusto.
Ebbene NON E' VERO CHE SONO TUTTI IRRIDUCIBILI:
$x^8+ax^7+....+a^7x+a^8=(x^2+ax+a^2)(x^6+a^3x^3+a^6)$

[j18eos]

Mi hai risparmiato l'ultima parte del conto coi numeri complessi; grazie a te!

[Martino]

Dividendo per \( \displaystyle p^n \) e cambiando variabili si vede che si tratta di discutere l'irriducibilità di \( \displaystyle x^n+...+x+1 \) . Questo polinomio è irriducibile se e solo se \( \displaystyle n+1 \) è un numero primo. Questo viene dalla teoria dei polinomi ciclotomici: \( \displaystyle x^m-1 \) è un prodotto di tanti polinomi irriducibili quanti sono i divisori di \( \displaystyle m \) e il fattore corrispondente al divisore \( \displaystyle d \) (il d-esimo polinomio ciclotomico) ha grado \( \displaystyle \varphi(d) \) . Dato che \( \displaystyle x^m-1 = (x-1) (x^{m-1} + \ldots + x + 1) \) , il polinomio \( \displaystyle x^{m-1} + \ldots + x + 1 \) è irriducibile se e solo se \( \displaystyle m \) ha due soli divisori, cioè è primo.

[Francesco71]

Dividendo per \( \displaystyle p^n \) e cambiando variabili si vede che si tratta di discutere l'irriducibilità di \( \displaystyle x^n+...+x+1 \) . Questo polinomio è irriducibile se e solo se \( \displaystyle n+1 \) è un numero primo. Questo viene dalla teoria dei polinomi ciclotomici: \( \displaystyle x^m-1 \) è un prodotto di tanti polinomi irriducibili quanti sono i divisori di \( \displaystyle m \) e il fattore corrispondente al divisore \( \displaystyle d \) (il d-esimo polinomio ciclotomico) ha grado \( \displaystyle \varphi(d) \) . Dato che \( \displaystyle x^m-1 = (x-1) (x^{m-1} + \ldots + x + 1) \) , il polinomio \( \displaystyle x^{m-1} + \ldots + x + 1 \) è irriducibile se e solo se \( \displaystyle m \) ha due soli divisori, cioè è primo.

Effettivamente il fatto che $x^n+ax^(n-1)+...+a^(n-1)x+a^n$ sia il quoziente della divisione di $x^(n+1)-a^(n+1)$ per $x-a$ doveva portare a pensare subito al polinomio ciclotomico.
Formalizzando quindi quanto scrivi:
$x^n+ax^(n-1)+...+a^(n-1)x+a^n = (x^(n+1)-a^(n+1))/(x-a) = (a^(n+1)((x/a)^(n+1)-1))/(x-a) = (a^(n+1)\prod_(d|n+1)\Phi_d(x/a))/(x-a) = (a^(n+1)(x/a - 1)\prod_(d|n+1,d>1)\Phi_d(x/a))/(x-a) = a^n\prod_(d|n+1,d>1)\Phi_d(x/a)$
dove $\Phi_d$ è il d-esimo polinomio ciclotomico.
Quindi l'irrudicibilità si ha se e solo se $n+1$ è primo.