Isomorfismo prodotto tensoriale

[thedarkhero]

Approfitto per considerare una variante di quanto proposto sopra.
Se volessi costruire un isomorfismo tra $M\otimes_R R/I$ e $M/(MI)$, dove $I$ e' un ideale sinistro di $R$ penso che potrei procedere in maniera analoga.

Definisco $alpha:M/(MI)->M\otimes_R R/I$, $alpha(m+MI)=m\otimes(1+I)$.
Definisco $tau:M\timesR/I->M\otimes_R R/I$, $tau(m,r+I)=m\otimes(r+I)$ mappa bilanciata.
Definisco $beta:M\timesR/I->M/(MI)$, $beta(m,r+I)=mr+MI$ mappa bilanciata.
Per la proprieta' universale esiste unico l'omomorfismo $\barbeta:M\otimes_R R/I->M/(MI)$ tale che $beta=\barbeta*tau$, da cui $mr+MI=beta(m,r+I)=\barbeta(tau(m,r+I))=\barbeta(m\otimes(r+I))$.
Tutti i morfismi che ho definito fino ad ora sono ben definiti?
Ho che $alpha(\barbeta(m\otimes(r+I)))=alpha(mr+MI)=mr\otimes(1+I)=m\otimes(r+I)$ e che $\barbeta(alpha(m+MI))=\barbeta(m\otimes(1+I))=m*1+MI=m+MI$, dunque sono una l'inversa dell'altra e quindi $\barbeta$ e' isomorfismo.

Mi daresti una conferma?

[Martino]

Mi sembra corretto.

[thedarkhero]

In teoria le mappe $alpha$, $tau$ e $beta$ dovrebbero essere ben definite, ma non saprei come provarlo...

[Martino]

La buona definizione di $\tau$ e $\beta$ è praticamente ovvia, per $\alpha$ quasi, devi solo usare il fatto che $\otimes$ è bilineare.

[thedarkhero]

Vero, per la buona definizione di $alpha$ posso osservare che se $m_1+MI=m_2+MI$ allora $m_1-m_2\inMI$, allora $m_1-m_2=mi$ con $m\inM$ e $i\inI$, allora $(m_1\otimes(1+I))-(m_2\otimes(1+I))=(m_1-m_2)\otimes(1+I)=(mi)\otimes(1+I)=m\otimes(i1+I)=m\otimes(i+I)=m\otimes(0+I)=0_(M\otimes_R R/I)$.