Appena posso mi procuro il testo che hai citato.
Ricapitolando, Sia $F$ un campo ed $p^n(x)$ un polinomio di grado $n$ ivi irriducibile, siano $alpha$ e $beta$ due radici distinte, avremo $F_1F[x]//p(x)~~F[alpha]~~F[beta]$ indichiamo con
$F_1=F[alpha]$ ed $F_2=F[beta]$ l'isomorfismo $phi$ che lascia fisso il campo $F$ tale che $phi(alpha)=beta$
può essere esteso ad i campi $(F_1[x])//(p_1^(n-1)(x))$ ed $(F_2[x])//(p^(n-2)(x))$ , supposti nei rispettivi campi i polinomi $p_1(x)$ ed $p_2(x)$ irriducibili, avremo quindi $(F_1[x])//(p_1(x))~~F_2//(p_2(x)$.
Preso ad esempio un polinomio di terzo grado del tipo $p(x)=x^3-k$ con $k$ $in$ $Q$ , ed indicato con $alpha$ e $beta$ due radici distinte, avremo :
$p(x)=(x-alpha)(x^2-alphax+alpha^2)$ ed
$p(x)= (x-beta)(x^2-betax+beta^2)$
avendo che $phi(alpha)=beta$ possiamo scrivere
$p(x)=(x-beta)(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$ da qui si ha
$(F[alpha](x))//(x^2-alphax+alpha^2)~~(F[beta](x))//(x^2-phi(alpha)x+phi(alpha)^2)$
Questo risultato è generale , cioè valido scegliendo un qualsiasi polinomio, e ci assicura che il campo di spezzamento a meno di isomorfismi è unico, giusto?