lemma di Zorn e Assioma della scelta

[BenderBendingRodriguez]

si avevo immaginato fosse per quel motivo altrimenti l'esempio sarebbe stato " debole " .

[BenderBendingRodriguez]

rileggendo la tua prima risposta avevi già fatto l'esempio che ti ho posto poco fa .... scusa la distrazione

[j18eos]

Considera il cerchio con circonferenza (un disco chiuso) \( \displaystyle D \) di centro \( \displaystyle O \) , i suoi punti siano ordinati rispetto alla loro distanza dal centro.

I) Prova che tale ordine è parziale ma non totale!

II) Prova che i punti della circonferenza sono gli elementi massimali di tali ordinamento su \( \displaystyle D \) !

III) I raggi sono catene; sai presentarmi un esempio di catena diverso dalle precedenti?

EDIT: Corretta una fondamentale svista!

EDIT2: Non c'era nessuna svista, l'esercizio è tornato nella forma originale!

[BenderBendingRodriguez]

senti io non so se ho ben capito ma se ho capito è una figata pazzesca questo esempio

correggetemi ogniqualvolta dico una fesseria per favore :

I) il fatto che sia un ordine parziale significa appunto che ci sono elementi che non possono essere confrontati vero?
quindi io penso ad esempio che ogni raggio è a se stante . è sbagliato vederla cosi ?

II) i punti della circonferenza sono massimali dici..... allora io immagino questi punti come i più grandi elementi per ogni raggio che considero e automaticamente il raggio lo considero come una catena perché è ordinato totalmente visto che ha una sua origine e prosegue verso il bordo ( passatemi i termini poco tecnici ) e ogni raggio è un insieme, diciamo di punti, a se stante.

III) adesso provo a spararne una grossa visto che parlo per immagini la cosa più vicina ad una catena per me è l'insieme degli elementi massimali ( cioè il perimetro ) partendo da un dato punto ..... ma immagino che questa mia affermazione possa risultare eretica.

adesso puoi ridere e dirmi se le miei interpretazioni sono corrette ( e se non lo sono spiegami tutto a puntino grazie mille )

[gugo82]

@j18eos:

Considera il cerchio con circonferenza (un disco chiuso) $D$ di centro $O$, i suoi punti siano ordinati rispetto alla loro distanza dal centro.

I) Prova che tale ordine è parziale ma non totale!

Perchè non sarebbe totale?
Se prendo \( \displaystyle x,y\in D \) allora, per il principio di tricotomia, è \( \displaystyle |x|<|y| \) oppure \( \displaystyle |y|<|x| \) ovvero \( \displaystyle |x|=|y| \) ; quindi non mi pare che ci siano coppie di elementi non confrontabili in \( \displaystyle D \) .

Probabilmente volevi definire la relazione richiedendo che i due punti fossero anche allineati (sullo stesso raggio), cioè:

\( \displaystyle x\preceq y \ \Leftrightarrow \ \text{$x,y$ sono sullo stesso raggio ed $|x|\leq |y|$} \) ?

[paolo.papadia]

non riesco a vedere dove centri il principio di triconomia, quindi forse sto per dire una vaccata, ma $D$ non è totalmente ordinato.
infatti se prendiamo ad esempio $x$ e $y$ due punti distinti con la stessa distanza dal centro, non possiamo dire nè $x<y$ nè $y<x$, e siccome sono due punti distinti, nemmeno $y=x$.

è come se mettessimo sui numeri complessi l'ordinamento $w<v$ se e solo se $|w|<|v|$; esso non può essere totale, in quanto ad esempio $1$ e $i$ non sono confrontabili.

spero di non aver detto vaccate

III) adesso provo a spararne una grossa visto che parlo per immagini la cosa più vicina ad una catena per me è l'insieme degli elementi massimali ( cioè il perimetro ) partendo da un dato punto ..... ma immagino che questa mia affermazione possa risultare eretica.

immagini bene; se una catena è un sottoinsieme totalmente ordinato, come fa il sottoinsieme degli elementi massimali(e quindi inconfrontabili) ad essere una catena??

[Martino]

@gugo: credo che j18eos intendesse dire che due punti sono confrontabili solo se sono allineati col centro. Anche perché la relazione \( \displaystyle x \leq y \Leftrightarrow |x| \leq |y| \) non è un ordine (non è antisimmetrica).

[gugo82]

@Martino:

@gugo: credo che j18eos intendesse dire che due punti sono confrontabili solo se sono allineati col centro. Anche perché la relazione \( \displaystyle x \leq y \Leftrightarrow |x| \leq |y| \) non è un ordine (non è antisimmetrica).

E pure hai ragione... Non me n'ero accorto.

[j18eos]

Mi voglio comunque scusa per la svista, con tutti! Non mi sembrava un particolare fondamentale, e ne sono convinto... non mi dite nulla ma stasera non ce la faccio.

Domani ci ragionerò a mente fresca per convincermi!

@BenderBendindRodiguez Sono impossibilitato a risponderti direttamente, spero che qualche altr* utente lo voglia fare al posto mio!

[BenderBendingRodriguez]

ok, grazie a tutti comunque, più cose leggo meglio è ...

riguardo a questa osservazione :
immagini bene; se una catena è un sottoinsieme totalmente ordinato, come fa il sottoinsieme degli elementi massimali(e quindi inconfrontabili) ad essere una catena??

si dopo aver scritto questa roba ci ho pensato e in effetti mi pareva una mezza se non totale cavolata, ma io appunto immaginavo la cosa come un disegno, mentalmente davo un punto ( per esempio a 0 gradi ) proseguivo in senso antiorario e creavo il perimetro e pensavo che tutti questi punti sono tra loro in relazione e che quelli più lontani dallo 0 erano sempre più grandi ( quindi creavo la catena secondo la mia fesseria ) ma capisco che non ha attinenza in quanto tutti questi massimali non possono essere relazionati tra loro.

per chi volesse rispondere poi al quesito di j18eos si faccia avanti cosi aiuta meglio anche me a comprendere.