lemma di Zorn e Assioma della scelta

[claudiamatica]

Ciao a tutti, mi unisco alla discussione anche se non ho mai lavorato con queste cose in dettaglio.

Non mi è chiaro come è definito l'ordine sul cerchio chiuso.. cioè leggo che due elementi sono confrontabili in base alla distanza dal centro se sono sullo stesso diametro. Se è così non ho capito come si confrontano due punti simmetrici rispetto al centro.

[Martino]

Non mi è chiaro come è definito l'ordine sul cerchio chiuso.. cioè leggo che due elementi sono confrontabili in base alla distanza dal centro se sono sullo stesso diametro. Se è così non ho capito come si confrontano due punti simmetrici rispetto al centro.

Hai ragione, direi che con "allineati col centro" e' meglio intendere che stanno sullo stesso raggio.

[j18eos]

@claudiamatica La mia idea è questa: più un punto di \( \displaystyle D \) è distante da \( \displaystyle O \) più esso è grande! Se due punti distinti sono alla medesima distanza da \( \displaystyle O \) ; ovvero sono equidistanti, non sono confrontabili.

Non c'è bisogno di essere sullo stesso raggio o diametro per essere confrontabili, di queste cose la distanza non ne tiene conto; infatti, l'esercizio da me proposto non diceva nulla del genere, e l'ho reimpostato nella forma originale!

Riprendendo il tuo esempio: 2 punti diametralmente opposti a distanze diverse sono confrontabili, a distanze eguali non sono confrontabili. Concordi?

@Bender I) La risposta alla prima domanda è sì! Poi, un raggio puoi vederlo come un insieme ordinato, anzi, totalmente ordinato (II) per cui è una catena!
Aiuto per il punto (III): Non ti serve che i raggi abbiano minimo o massimo, restano sempre catene!

[BenderBendingRodriguez]

ok adesso so di non aver ragionato malamente. mi applicherò a risolvere il terzo punto.

ps

2 punti diametralmente opposti a distanze diverse sono confrontabili, a distanze eguali non sono confrontabili. Concordi?

anche se non rivolta a me vorrei dare un contributo, questo significa allora che 2 punti se sono diametralmente opposti a distanze diverse ovviamente sono confrontabili perché uno dei due punti in questione sarà più o meno vicino all'origine rispetto all'altro.

nel caso invece che le distanze fossero identiche ma opposte ( ma non per forza opposte cioè potremmo considerare anche raggi perpendicolari per esempio ) allora in questo caso non si può avere un confronto tra questi proprio perché la loro distanza dall'origine è identica e uno vale l'altro

( sempre se ho inteso bene )

[claudiamatica]

Devo dire che la prima volta che ho letto il tuo post io l'avevo interpretata così
Tanto che come esempio di catena mi era venuta tipo una spirale. Poi è stato sottolineato il fatto che così come l'avevi data la relazione non era antisimmetrica.

Sono confusa
(Ma la spirale mi piaceva)

[Martino]

j18eos, certo che un po' di formalismo aiuterebbe

Sia \( \displaystyle B \) la palla chiusa di centro l'origine e raggio 1. La relazione che definisci in \( \displaystyle B \) è forse la seguente?

(A) \( \displaystyle x \leq y \) se e solo se " \( \displaystyle |x| \leq |y| \) ".

Come ho detto qualche intervento fa, questa non è una relazione d'ordine dato che non è antisimmetrica.
La relazione che definisci in \( \displaystyle B \) è forse la seguente?

(B) \( \displaystyle x \leq y \) se e solo se " \( \displaystyle |x| \leq |y| \) e \( \displaystyle x,y \) sono allineati col centro".

Come fa notare claudiamatica questa non è una relazione d'ordine dato che non è antisimmetrica (prendi due punti diametralmente opposti).
Forse tu intendi definire quest'altra relazione:

(C) \( \displaystyle x \leq y \) se e solo se " \( \displaystyle x=y \) oppure \( \displaystyle |x| < |y| \) ".

Questa è una relazione d'ordine. Confermi che è (C) la relazione che hai in mente?

[j18eos]

@Martino Guarda, ci avevo pensato e mi hai preceduto: ti confermo la (C)!

Ecco la mia idea: ho un disco chiuso \( \displaystyle \overline B \) di centro \( \displaystyle O \) e raggio \( \displaystyle r \) , quindi stiamo in un piano euclideo \( \displaystyle \mathcal{E}_2 \) con tanto di metrica o distanza euclidea \( \displaystyle d \) .
Sappiamo allora che \( \displaystyle \forall P\in\overline B,\,d(O;P)\in[0;r] \) , quindi mi si accende la lampadina, come si può vedere dalla emoticon , di ordinare i punti sfruttando la distanza; ovviamente (per la riflessività delle relazioni d'ordine su un insieme) devo richiedere che \( \displaystyle \forall P\in\overline B,\,P=P \) quindi siano \( \displaystyle P;Q\in\overline B\mid d(O;P)=d(O;Q)\Rightarrow P=Q\,\text{oppure "P e Q non sono confrontabili"} \) , quindi resta il caso che siano \( \displaystyle P;Q\in\overline B\mid d(O;P)>d(O;Q) \) e trovo naturale (se non addirittura ovvio) porre per conseguenza \( \displaystyle P>Q \) .

Tutte queste "ovvietà" discendono dal voler ordinare i punti con la distanza dal centro.

Poi scusate (con tutta la mia napoletanità) se lo scrivo: non volendo essere complicato come mio solito, vi ho voluti trattare come bimbi delle elementari ed ho avuto un effetto peggiore di un eccessivo formalismo! E che...

@Bender Mi sà che sei l'unico che ha capito al primo colpo!

@claudiamatica L'avevo pensata anch'io la spirale!

[BenderBendingRodriguez]

@Martino Guarda, ci avevo pensato e mi hai preceduto: ti confermo la (C)!

Ecco la mia idea: ho un disco chiuso \( \displaystyle \overline B \) di centro \( \displaystyle O \) e raggio \( \displaystyle r \) , quindi stiamo in un piano euclideo \( \displaystyle \mathcal{E}_2 \) con tanto di metrica o distanza euclidea \( \displaystyle d \) .
Sappiamo allora che \( \displaystyle \forall P\in\overline B,\,d(O;P)\in[0;r] \) , quindi mi si accende la lampadina, come si può vedere dalla emoticon , di ordinare i punti sfruttando la distanza; ovviamente (per la riflessività delle relazioni d'ordine su un insieme) devo richiedere che \( \displaystyle \forall P\in\overline B,\,P=P \) quindi siano \( \displaystyle P;Q\in\overline B\mid d(O;P)=d(O;Q)\Rightarrow P=Q\,\matrm{oppure\,"P\,e\,Q\,non\,sono\,confrontabili"} \) , quindi resta il caso che siano \( \displaystyle P;Q\in\overline B\mid d(O;P)>d(O;Q) \) e trovo naturale (se non addirittura ovvio) porre per conseguenza \( \displaystyle P>Q \) .

Tutte queste "ovvietà" discendono dal voler ordinare i punti con la distanza dal centro.

Poi scusate (con tutta la mia napoletanità) se lo scrivo: non volendo essere complicato come mio solito, vi ho voluti trattare come bimbi delle elementari ed ho avuto un effetto peggiore di un eccessivo formalismo! E che...

@Bender Mi sà che sei l'unico che ha capito al primo colpo!

@claudiamatica L'avevo pensata anch'io la spirale!

ci ho azzeccato perché per me, che sono inesperto, i formalismi a volte sono più ostici da digerire e quindi cerco di arrivarci per vie traverse, ma ovviamente è una mia lacuna e dovrò migliorare in questo perché il rigore della forma, oltre che essere sublime esteticamente, è per definizione inequivocabile, ma fa bene sicuramente poter tralasciare ogni tanto il rigore e spaziare anche informalmente

[j18eos]

OUT OF SELF: Però non bisogna eccedere col formalismo altrimenti si perdono le idee fondanti i concetti!

[BenderBendingRodriguez]

OUT OF SELF: Però non bisogna eccedere col formalismo altrimenti si perdono le idee fondanti i concetti!

condivido, prima di tutto le idee devono essere interessanti e giuste poi certo ci si può perdere in sofismi formali, i quali estendono la questione alla generalità dei casi ( specie se si parla di Algebra astratta )