Un paio di osservazioni: 1) ho sbagliato a non verificare i conti fatti da aculsh, ho semplicemente preso per fede che \( \displaystyle (2x^2 + 3y^2 - 11, x^2 - y^2 - 3) = (x^4 - 4,y^2 -1) \) , ma quello che ha fatto notare Stickelberger è vero e bisogna tenere in considerazione la caratteristica del campo.
2) Una delle due frecce del corollario (quella che serve) è valida senza l'ipotesi di campo algebricamente chiuso perché non dipende dal Nullstellensatz. E' nella freccia opposta che abbiamo bisogno di quel teorema. Quindi, Stickelberger, di fatto si può applicare quel corollario senza pensare per evitare i conti che hai fatto (a parte la discussione sulla caratteristica del campo).
3) Nella dimostrazione che hai dato, aculsh, c'è una considerazione errata.
aculsh ha scritto:Inoltre il nullstellensatz è nascosto nel fatto che la varietà irriducibile corrisponde all'ideale primo.
Questo è indipendente dal Nullstellensatz: è un fatto perfettamente generale che vale non solo nel caso di k-algebre finitamente generate, ma più in generale in \( \displaystyle \text{Spec}(A) \) per ogni anello commutativo unitario A (a patto di definire per bene tutti gli oggetti in assoluta generalità, cosa che si può fare).
Il resto della dimostrazione è esatto, ma dimostri un fatto più debole di quello che volevo che dimostrassi: non ottieni, in particolare, la stima dei punti di \( \displaystyle V(I) \) . Ti viene in mente un teorema che si può applicare per ottenerla senza fare troppa ginnastica mentale?
Vediamo l'altra implicazione. Supponiamo che \( \displaystyle K[X_1,\ldots,X_n] / I \) abbia dimensione 0. Allora necessariamente c'è un numero finito di ideali massimali contenenti I. Algebra commutativa di base mostra che possiamo scrivere \( \displaystyle \sqrt{I} = \mathfrak m_1 \cap \ldots \cap \mathfrak m_r \) con \( \displaystyle \mathfrak m_i \) ideale massimale, sicché \( \displaystyle V(I) = V(\sqrt{I}) = V(\mathfrak m_1) \cup \ldots \cup V( \mathfrak m_r) \) . Ora, il Nullstellensatz (forma debole) mostra che \( \displaystyle \mathfrak m_i = (X - a_{1i}, \ldots, X_n - a_{ni}) \) , sicché \( \displaystyle V(I) \) consiste effettivamente di r punti.
I believe in the axiom of choice, and in particular that every proper ideal in a ring is contained in a maximal ideal!