Intelligenza artificiale che fa (tra le altre cose) dimostrazioni

[Martino]

Ci sto giocando un po' fa una marea di errori, ma se glielo fai notare poi si corregge. Ho paura che tra un paio d'anni i matematici diventeranno obsoleti (buoni solo per fare lezione).

[Martino]

Per esempio mi sta "dimostrando" che le funzioni continue mandano chiusi in chiusi, che è falso.

[3m0o]

Io invece mi sto immaginando un tools super potente che aiuta i matematici a fare ricerca dando idee per affrontare un problema irrisolto

[3m0o]

Ogni tanto comunque devo insistere per fargli dimostrare delle cose, è testardo (o onesto) e dice di non avere le competenze per dimostrarlo, poi gli dico "prova" e lo fa

[3m0o]

Hai ragione:

Yes, it is true that a continuous function maps closed sets to closed sets. This property, known as the closed map property, is a consequence of the definition of a continuous function.

Recall that a function f : X → Y is continuous if and only if the inverse image of every open set in Y is open in X. In other words, a continuous function f maps every open set in the codomain space Y to an open set in the domain space X. Since the complement of a closed set is an open set, this property also implies that a continuous function f maps every closed set in Y to a closed set in X.

In other words, if C is a closed set in Y, then the inverse image f^{-1}(C) = {x in X | f(x) in C} is a closed set in X. This is because f^{-1}(C) is the complement of the open set f^{-1}(Y \ C), and the complement of an open set is always a closed set.

Therefore, the closed map property of continuous functions states that a continuous function preserves the topological property of closedness. This property is important in topology because it allows us to study the behavior of closed sets under continuous functions, and it can be used to prove a variety of theorems and establish relationships between different topological spaces.

[3m0o]

Daje sono riuscito a fargli ammettere che ci sono eccezioni

Yes, it is true that a continuous map sends closed sets to closed sets. This is a fundamental property of continuous maps, and it is an important property that is used to study the topological properties of functions and their behavior.

However, as you have pointed out, there are examples of functions that are continuous but do not have the property that they map closed sets to closed sets. For example, the function $f : \mathbb{R} \to [0,1)$ defined by $x \mapsto e^{-\left|x\right|}$ is a continuous function that maps a closed set (the real numbers $\mathbb{R}$) to a non-closed set (the interval $[0,1)$).

Therefore, while it is true that a continuous map sends closed sets to closed sets in general, there are exceptions to this rule, and there are examples of continuous functions that do not have this property. These exceptions are important because they tell us something about the topological properties of the function, and they can be used to study the behavior and properties of the function in more detail.

[3m0o]

Non ce la fa proprio!

Yes, that is correct. While it is true that a continuous map sends closed sets to closed sets in general, there are exceptions to this rule, and there are examples of continuous functions that do not have this property. Therefore, it is not true that a continuous map always sends closed sets to closed sets.

To see why this is the case, we can consider the function $f : \mathbb{R} \to [0,1)$ defined by $x \mapsto e^{-|x|}$. This function is continuous, which means that it satisfies the property that for any open set $U$ in the codomain space $[0,1)$, the inverse image of $U$ under the function $f$ is an open set in the domain space $\mathbb{R}$.

However, as we have seen above, the function $f$ does not have the property that it maps closed sets to closed sets. This is because the interval $[0,1)$ is not a closed set, and therefore the inverse image of the interval $[0,1)$ under the function $f$ is not a closed set in the domain space $\mathbb{R}$.

Therefore, while it is true that a continuous map sends closed sets to closed sets in general, there are exceptions to this rule, and there are examples of continuous functions that do not have this property. These exceptions are important because they tell us something about the topological properties of the function, and they can be used to study the behavior and properties of the function in more detail.

[Martino]

Mi sa che ho trovato un bug, le chiedo se è vero che $f:RR to RR$, $f(x)=1/(1+x^2)$ manda chiusi in chiusi, mi risponde che no, non è vero, per esempio l'immagine di $[-1,1]$ è $[1/2,1]$ che non è chiuso (sic!). Io le faccio notare che $[1/2,1]$ è chiuso e lei dice "sì, è vero, ma questo non significa che $f$ manda chiusi in chiusi, per esempio..." seguito da un altro esempio simile (sbagliato), e così via. Non riesco a farle capire che gli intervalli chiusi sono insiemi chiusi.

[gabriella127]

E' in effetti mostruoso, e sono d'accordo con 3m0o che più che sostituire i matematici nelle dimostrazioni può dare potentissimi suggerimenti.

Non so se mai si potranno eliminare errori, in modo da farne uno strumento di dimostrazioni 'accettate', è questo il punto che potrebbe cambiare l'idea di 'dimostrazione', anche rispetto alle attuali dimostrazioni con computer, che sono comunque programmi fatti ad un uomo, senza addestramento del programma, non vengono da machine learning, per quanto ne so.

Queste cose di machine learning fanno molti errori, ci fu un quasi-scandalo negli Stati Uniti alcuni anni fa perché un programma di riconoscimento facciale scambio una scimmia per un nero...

[Shackle]

Non so se è lecito e consentito, ma chiedi di fare un viaggio indietro nel tempo, a partire dalle equazioni di campo della RG. È più probabile che io non abbia capito niente…