Insiemi equipotenti

[Angelo]

Qualcuno saprebbe dimostrare la seguente proposizione?

Se A è un insieme infinito, allora AxA è equipotente ad A.

Angelo

[Edgar James]

Positiva.
Se A è un insieme infinito, allora a*a è equipotente perchè (a=x)(a=y)=a^2, il risultato è un segmento dell'infinito, pertanto,un elemento dell'infinito è parte dello stesso e genera un'infinità di elementi della stessa specie.
Presto ti invierò la dimostrazione che sarà simile alla soluzione del problema del "rettangolo poliedrico"
Riguardi.
Edgar.

[Angelo]

Grazie mille per l'interessamento: aspetto impazientemente la tua dimostrazione. Il mio indirizzo e_mail è:
[email protected]



Angelo

[Admin]

Ciao Angelo,
vedo che il tuo interesse per la questione non è scemato.
Io ho fatto qualche ricerca superficiale poi mi sono fermato.
E' lecito sapere il motivo del tuo interessamento a questo problema?

Antonio Bernardo

[Angelo]

In poche righe non posso spiegare il motivo del mio interesse a questo problema che agli occhi altrui potrebbe apparire insignicante.
Posso solamente dire che nel caso di risposta affermativa, si potrebbe concludere che l'unica operazione insiemistica che permetta di passare da un infinito ad un altro di cardinalità superiore sarebbe la determinazione dell'insieme delle parti.
Stando così le cose sarebbe impossibile trovare (utilizzando solo operazioni insiemistiche) cardinalità comprese tra quella di un insieme e quella dell'insieme delle parti, cardinalità che esistono nell'algebra in cui si assume falsa l'ipotesi del continuo.


Angelo

[marcellus zebra]

Caro Angelo,

Non conosco bene la questione ma, se non ricordo male, il problema è tutto logico e ha molto poco a che vedere con l'algebra degli insiemi. Cioè le combinazioni di operazioni insiemistiche estese al più a una quantità numerabile di elementi non portano effettivamente a nulla di interessante, d'altra parte l'esione di tali operazioni a quantità infinite di cardinalità maggiore porta il problema in un ambito complicato e (probabilmente) anche inutile.

Se non l'hai già sfogliato, ti consiglio il secondo volume delle opere di Godel (appena pubblicato da boringhieri) in cui viene affrontato in modo esteso il problema e, nelle belle note dei curatori si accenna anche agli sviluppi successivi (il teorema di indimostrabilità di [...?] del 1967). Si tratta di questioni altamente tecniche che io faccio molta fatica a affrontare, tuttavia, se non ho capito male non è possibile dimostrare che esiste una combinazione di operazioni di qualsiasi tipo che generi un insieme di cardinalità compresa tra il numerabile e il continuo, poichè l'insieme standard degli assiomi della teoria degli insiemi sono insufficienti per questa dimostrazione.

Cioè, con l'assoluta premessa che io non saprei sostenere fino in fondo ciò che sto per dire, la tua affermazione:

"sarebbe impossibile trovare (utilizzando solo operazioni insiemistiche) cardinalità comprese tra quella di un insieme e quella dell'insieme delle parti, cardinalità che esistono nell'algebra in cui si assume falsa l'ipotesi del continuo."

è vera a priori se non vengono aggiunti nuovi assiomi nella teoria, anzi, è vera l'affermazione molto più generale:

" é impossibile trovare cardinalità comprese tra quella di un insieme e quella dell'insieme delle parti, cardinalità che esistono nell'algebra in cui si assume falsa l'ipotesi del continuo."

Col beneficio del dubbio, ciao, Marc.

[marcellus zebra]

Aggiungo un chiarimento per evitare di essere frainteso:

Se si riuscisse a costruire un insieme di cardinalità intermedio semplicemendo omettendo l'ipotesi del continuo assunta come assioma avremmo che l'insieme di assiomi della teoria degli insiemi permetterebbe di dimostrare la falsità di tale assioma [la dimostrazione sarebbe costituita dalla costruzione stessa] e quindi l'ipotesi del continuo inserita nell'elenco degli assiomi genererebbe un sistema contraddittorio e ciò sarebbe incompatibile con i risultati di Godel e di [...?] (sto andando a memoria e non mi viene il nome di sto tizio).

Ciao, Marcellus

[Edgar James]

Marcello, il beneficio del dubbio ti viene accordato.
Il seguente risultato contradisce nella sua interezza il teorema di Godel.
Per ogni numero primo naturale maggiore =5 [x^2-y^2=(x+y)(x-y)], con p=m+n, esiste un numero intero positivo z tale che h=m^2-(m-n)*n è un numero primo minore di z^2.
Regola z=m+n per ottenere la forma quadratica: h=(m^3+n^3)/(m+n)=m^2-m*n+n^2.
Analogamente, per ogni numero primo naturale maggiore =5[x^2-y^2=(x+y)(x-y)], con p=m-n, esiste un numero intero z tale che h=m^2+(m+n)*n è un numero primo maggiore di z^2.
Regola z=m-n per ottenere la forma quadratica: h=(m^3-n^3)/(m-n)=m^2+m*n+n^2.
Se il termine z è uguale ad un numero primo, allora esiste una serie infinita di numeri primi maggiori di z. Tutti i termini "primi" della serie z eguale a h sono della forma 6k+1, vale a dire che la somma successiva delle cifre numeriche è uguale a 1, 4 e 7; pertanto non sono multipli del numero tre.





Modificato da - Edgar James il 05/11/2002 13:21:53

[Angelo]

Scusate il ritardo, ma mi posso collegare in rete solo attraverso i terminali della scuola che fra l'altro è rimasta chiusa per una settimana a causa degli ultimi terremoti in Sicilia.
Sto leggendo solo adesso gli ultimi interventi di Marcellus Zebra: credo di essere stato completamente frainteso.
Assolutamente non è mia intenzione dimostrare la verità dell'ipotesi del continuo utilizzando gli assiomi standard della teoria degli insiemi, perchè so benissimo che l'ipotesi del continuo è indecibile, cioè utilizzando gli assiomi standard è impossibile dimostrare sia la sua verità, sia la sua falsità e pertanto è possibile costruire due algebre coerenti una delle quali assume vera l'ipotesi del continuo, l'altra invece l'assume falsa.
E' un po' quello che avviene in geometria riguardo il quinto assioma di Euclide.
Quindi quando dicevo: "stando così le cose sarebbe impossibile trovare (utilizzando solo operazioni insiemistiche) cardinalità comprese tra quella di un insieme e quella dell'insieme delle parti", non era mia intenzione dimostrare la verità o la falsità dell'ipotesi del continuo, ma volevo solo trovare nella dimostrazione che AxA è equipotente ad A un'ulteriore conferma dell'impossibilità di ottenere cardinalità intermedie attraverso operazioni insiemistiche, dato che l'unica operazione insiemistica in grado di elevare la cardinalità di un insieme sarebbe allora il passaggio all'insieme delle parti.
In altre parole desidero avere una dimostrazione che AxA è equipotente ad A senza scomodare l'ipotesi del continuo.
Stavolta spero di essere stato più chiaro.




Angelo

[marcellus zebra]

Caro Angelo, scusa per il fraintendimento, ma la tua affermazione

"Stando così le cose sarebbe impossibile trovare (utilizzando solo operazioni insiemistiche) cardinalità comprese tra quella di un insieme e quella dell'insieme delle parti, cardinalità che esistono nell'algebra in cui si assume falsa l'ipotesi del continuo."

mi aveva fatto pensare che fossi alla ricerca di una dimostrazione impossibile. Dopo tanti giri, torniamo al quesito centrale:

per il numerabile e il continuo non ci sono problemi ma per un aleph generico non riesco a pensare una dimostrazione...proverò a pensarci ancora. Tuttavia, sempre nell'ambito delle cose di cui parlo senza essere troppo sicuro di quello che dico, mi pare di ricordare che Cantor non sia riuscito in questa impresa, se così è, con tutto il rispetto che ho per me stesso, sarà il caso che non ci provo neanche.

Ciao, Marc.