Proprietà degli eventi globalmente indipendenti

[Daniele_98]

Sul mio libro è riportata la dimostrazione della seguente proposizione:
Se $E_1,...,E_n$ sono eventi indipendenti $=> AA B_i in {E_i,E_i^c}$, con $1<=i<=n, P(nnn_{i=1}^N B_i)=\prod_{i=1}^N B_i$.
La dimostazione è fatta per induzione su $P(k)=" P(A_1^cnn...nnA_k^cnnA_(k+1)nn...nnA_n)=P(A_1^c)...P(A_k^c)P(A_(k+1))...P(A_n)$, per $kin{0,...,n}$.
Al passo induttivo ($P(k-1)=>P(k)$) dice che: $P(A_1^cnn...nnA_k^cnnA_(k+1)nn...nnA_n)=P(A_1^cnn...nnA_(k-1)^cnnA_(k+1)nn...nnA_n)-P(A_1^cnn...nnA_(k-1)^cnnA_knn...nnA_n)$.
Poi, applicando due volte $P(k-1)$ si ottiene:
$P(A_1^cnn...nnA_k^cnnA_(k+1)nn...nnA_n)=P(A_1^c)...P(A_(k-1)^c)P(A_(k+1))...P(A_n)-P(A_1^c)...P(A_(k-1)^c)P(A_k)...P(A_n)$.
Ora ovviamente mi è chiaro che dall'assunzione di $P(k-1)$ si ha che $P(A_1^cnn...nnA_(k-1)^cnnA_knn...nnA_n)=P(A_1^c)...P(A_(k-1)^c)P(A_k)...P(A_n)$
Ma non mi è chiaro perchè si ha anche che:
$P(A_1^cnn...nnA_(k-1)^cnnA_(k+1)nn...nnA_n)=P(A_1^c)...P(A_(k-1)^c)P(A_(k+1))...P(A_n)$

[ghira]

Per $\cup$ intendi $\cap$ essenzialmente ogni volta? Forse ogni singola volta, guardando meglio.

[Daniele_98]

Si, scusami.
Ho appena modificato.

[Daniele_98]

Per $\cup$ intendi $\cap$ essenzialmente ogni volta? Forse ogni singola volta, guardando meglio.

Hai qualche suggerimento?