In una fase finale dei campionati del mondo, Italia e Francia si affrontano in uno scontro ad eliminazione diretta. Persistendo il risultato di parità fino alla fine del secondo tempo supplementare, le due squadre procedono alla routine dei calci di rigore. Sapendo che ogni giocatore francese ha probabilità $ p_F = 0.8 $ di segnare, mentre ogni giocatore italiano ha probabilità $ p_I = 0.6 $, calcolare la probabilità $ P $ che, dopo $ n=2 $ tiri dal dischetto effettuati da ogni squadra, il risultato sia ancora di parità.
La probabilità di un pareggio significa la probabilità che le due squadre abbiano segnato lo stesso numero di reti (0-0, 1-1, ecc.). Per ogni squadra, questo numero può essere inteso come una variabile aleatoria binomiale in quanto sono $ n $ ripetizioni indipendenti di un esperimento che può concludersi in "successo" o "fallimento".
\[X_F \sim B(n, p_F) \qquad X_I \sim B(n, p_I)\]
Calcoliamo ora la probabilità che le due variabili aleatorie assumano lo stesso valore.
\begin{align}
P(X_F = X_I) &= P\left(\bigcup_{i=0}^{n} \{X_F = i, X_I = i\}\right) \\
&= \sum_{i=0}^{n} P(X_F = i, X_I = i) \\
&= \sum_{i=0}^{n} \left[P(X_F = i) \cdot P(X_I = i)\right]
\end{align}
\((2)\) è possibile per gli assiomi delle probabilità.
\((3)\) è possibile per l'indipendenza delle variabili.
Si esplicitano infine le funzioni di massa delle variabili e si svolgono i calcoli.
Trattandosi di variabili binomiali, le funzioni saranno del tipo:
\[P(X=i)={n \choose i} p^i (1-p)^{n-i}\]
È corretto? Intuitivamente ho supposto che le variabili siano indipendenti, ma è lecito?
