"Date $X_n,Y_n,X$ variabili aleatorie tali che $X_n \rightarrow X$ in legge e $Y_n \rightarrow c$ in probabilità, con $c$ costante, allora $(X_n,Y_n)$ converge in legge alla coppia $(X,c)$."
Cerco un controesempio nel caso $Y_n \rightarrow Y$ in probabilità con $Y$ altra variabile aleatoria. Il professore ci ha fornito questo caso:
"Data $X$ gaussiana standard, siano $X_n=(-1)^nX$ e $Y_n=X$. Allora banalmente $Y_n$ converge in tutti i modi possibili a $X$ in particolare ci converge in probabilità, mentre (e qui me lo sono giustificato come segue più avanti) le $X_n$ convergono in legge a $X$. Allora lui dice che la coppia $(X_n, Y_n)$ non converge perchè se $n$ è pari abbiamo $(X,X)$, se $n$ è dispari abbiamo $(-X,X)$."
Per quanto riguarda:
1) la NON CONVERGENZA DELLA COPPIA: vedo che $\phi_{(-X,X)}(1,1)$ è diverso da $\phi_{(X,X)}(1,1)$... va bene o si potete dire immediatamente senza questo conto?
2) la CONVERGENZA DI $X_n$: ho provato a spiegarmelo e sono arrivato a questa catena di conclusioni:
-$X_n$ tende in legge a $X$ perchè $-X$ e $X$ hanno stessa funzione caratteristica ($\phi(t)=e^{-t^2\2}$);
-la convergenza in legge non ha un unico limite... poichè essendo $X$ e $-X$ due variabili aleatorie diverse ma avendo stessa funzione caratteristica (e quindi stessa legge), $X_n$ può convergere a entrambe.
Sono molto dubbioso su quest'ultima conclusione e credo di aver preso un abbaglio... potete aiutarmi a riportarmi sulla strada giusta? Grazie in anticipo
