Probabilità eventi non accadano r volte consecutive

[kobeilprofeta]

Grazie mille, molto gentile e chiaro. Scusa se insisto (lo farò ancora), ma mi interessa capire il "perchè"... Da dove esce quella formula? Qual è il ragionamento? La prima, non $frac{17!}{18^17}$.

[DajeForte]

Scusa se sono stato un po criptico, ma il mio scopo è sempre quello di farci arrivare alla soluzione.

L'impostazione co gli eventi che ti ho scritto me la ha inculcata il mio professore di probabilità. Infatti, usando le regole degli insiemi, si può quasi sempre pervenire ad una strutturazione più facile degli eventi.

In questo caso
$P(bigcup_{i=i}^6 A_i^c)=$
$=P(A_1^c)+...+P(A_6^c)+$
$-P(A_1^c cap A_2^c) - ...-P(A_5^c cap A_6^c)+$
$+ P(A_1^c cap A_2^c cap A_3^c)+ ...+P(A_4^c cap A_5^c cap A_6^c)-$
$...$
$-P(A_1^c cap A_2^c cap A_3^c cap A_4^c cap A_5^c cap A_6^c)$

Questa e' la legge delle probabilita' totali.
Ora, ogni probabilita di ogni riga di quella formula e' uguale (i numeri sono interscambiabili).
Dunque devi solo contare quante sono le scelte dei k eventi da 6: questi sono $((6),(k))$.

Dunque la probabilita' e':

$((6),(1)) P(A_1^c)+$
$-((6),(2)) P(A_1^c cap A_2^c)$
eccetra eccetra.

Ora devi calcolare le probabilita' delle intersezioni; ma queste sono facili perche' stai calcolando che su 7 lanci di un dado 1,2,3... facce non si presentano. Queste sono dunque $(5/6)^7, \quad (4/6)^7,...$.

Mattendo tutto insieme ottieni:

$((6),(1)) (5/6)^7 - ((6),(2)) (4/6)^7 + ((6),(3)) (3/6)^7 - ((6),(4)) (2/6)^7 + ((6),(5)) (1/6)^7 - ((6),(6)) (0/6)^7$.

questa e' uguale a 94.6% circa.

Nota che alla fine questa formula e' uguale a quella di Umby; i casi favorevoli si possono infatti ottenere con il principio di inclusione/esclusione.

[kobeilprofeta]

Grazie della spiegazione, devo prendermi un po' di tempo per cercare di capirci qualcosa (non ho mai fatto nè prob, ne statistica).
Comunque che le formule siano equivalenti, lo si verifica dividendo la tua per $6^7$ e si ottiene $p=frac{favorevoli}{possibili}$, questo l'ho capito...

[DajeForte]

Prego, spero solo di non aver fatto confusione.

Cerco di spiegarti la logica del principio di inclusione-esclusione.

Pensa ad un dado con 4 facce.
Vuoi contare le volte che un numero non si presenti.

Il numero 1 non si presenta nelle sequenze che usano gli altri tre numeri: $3^7$; caso 1
Il numero 2 non si presenta nelle sequenze che usano gli altri tre numeri: $3^7$; caso 2
Il numero 3 non si presenta nelle sequenze che usano gli altri tre numeri: $3^7$; caso 3
Il numero 4 non si presenta nelle sequenze che usano gli altri tre numeri: $3^7$; caso 4

Nel caso 1 hai delle setteplu del tipo $(2,3,3,4,3,2,3)$ oppure $(4,4,3,4,4,3,3)$.
In particolare la seconda 7-upla non contiene neanche il 2, ma allora appartiene anche al caso 2.

Se quindi sommi le possibilita' dei 4 casi $3^7 + 3^7 + 3^7 + 3^7$ conti alcune sequenze piu' di una volta.
In particolare le sequenze contate piu' di una volta sono quelle dove non compaiono tutti gli altri tre numeri, (solo un numero o due).
Piu precisamente sequenze con due numeri tipo $(4,4,3,4,4,3,3)$ compaiono due volte (caso 1 e caso 2);
quelle con un solo numero tipo $(1,1,1,1,1,1,1)$ compaiono tre volte (caso 2, caso 3, caso 4)
Quindi contiamole ed andiamo a toglierle.
Quante sono?

Be si potrebbe fare uno stesso ragionamento:
consideri tutte le coppie dei 4 numeri
(1,2) (1,3) (1,4)
(2,3) (2,4)
(3,4)
che sono $ 6 = ((4),(2))$

Per ogni coppia puoi considerare il numero di 7-uple che non contengono i numeri nella coppia: 2^7.
In questo conteggio le 7plue con due numeri diversi tipo $(4,4,3,4,4,3,3)$ compaiono una volta sola (questa nel caso (1,2)); quelle con un numero solo tipo $(1,1,1,1,1,1,1)$ compaiono tre volte.

Quindi sottraendo $4*3^7 - 6*2^7$
siamo apposto con le sequenze con tre numeri diversi (contate una volta nel primo addendo e non sottratte);
siamo apposto con le sequenze che contengono 2 numeri diversi (contate due volte nel primo addendo, ma tolte una volta sola nel secondo)

non siamo apposto per le (quattro) sequenze che contengo un solo numero.
Queste sono state contate 3 volte nel primo conteggio e tolte 3 volte nel secondo conteggio; bisogna dunque riaggiungerle. Quante sono? $4 * 1^7$.

In definitiva:

$((4),(1)) 3^7 - ((4),(2)) 2^7 + ((4),(1)) 1^7$

Vediamo se ora ci sono riuscito...a fare confusione

[kobeilprofeta]

Altro che confusione... Sei stato praticamente perfetto nella spiegazione... Grazie

Ps:

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

a breve (o a lungo) creerò un nuovo topic per chiedere/mostrare qualcosa che usa la formula che mi avete/hai dato/spiegato qua. Magari mi aiuterai/aiuterete ancora... Ciao

[nino_]

Per vedere se ho capito:
Nel lotto (p=5/90=1/18) la probabilità che in 100 estrazioni (10 ruote) non esca un qualunque numero e data da:
$p=frac{18^1000-C(18,17)*17^1000+C(18,16)*16^1000-...+C(18,2)*2^1000-C(18,1)}{18^1000}$
?

Per il lotto non è esattamente così.

E' vero che ad ogni estrazione escono 5 numeri su 90, quindi la probabilità è 1/18, ma per un calcolo preciso del numero di numeri che mano a mano vengono estratti devono essere considerati singolarmente i 90 numeri, non si può raggrupparli a 5 per volta.

Il calcolo è un po' laborioso, ma con le catene di Markov si può fare utilizzando un foglio excel.
Dopo la prima estrazione escono ovviamente 5 numeri con probabilità 1.
Alla seconda estrazione si possono verificare i seguenti 6 casi:
1) Ripetizione degli stessi 5 numeri p = 2,275E-08
2) Ripetizione di 4 numeri (presenza di 6 numeri) p = 9,670E-06
3) Ripetizione di 3 numeri (presenza di 7 numeri) p = 0,0008123
4) Ripetizione di 2 numeri (presenza di 8 numeri) p = 0,022474
5) Ripetizione di 1 numero (presenza di 9 numeri) p = 0,23035
6) Nessuna ripetizione (presenza di 10 numeri) p = 0,74635

Con le estrazioni successive, i casi possibili aumentano e i calcoli si complicano, ma con excel è "relativamente" semplice fare copia-incolla per completare la tabella fino, ad esempio, a 500 estrazioni.

A titolo di curiosità, 18 estrazioni sono ovviamente il numero minimo per avere l'uscita di tutti i 90 numeri (la probabilità è 1,4912E-37), mentre la probabilità più alta si ha con l'uscita di 58 numeri diversi (p = 13,5928%).
Il 50% di probabilità di vedere l'uscita di tutti i 90 numeri si raggiunge con 86 estrazioni, mentre dopo 100 estrazioni c'è il 22,46% di avere esattamente un numero in ritardo (non sortito), il 3,15% che ce ne siano in ritardo 2 e il 74,10% di probabilità che siano usciti tutti e 90.
Infine, ci vogliono 200 estrazioni perché la probabilità di non trovare numeri non estratti sia al 99,9% e 240 affinché la probabilità vada al 99,99%.

[nino_]

Dopo 100 estrazioni (e più in generale dopo un qualsiasi numero n di estrazioni) come si fa a calcolare la probabilità di non avere più nessun numero non estratto, cioè di osservare tutti i 90 numeri usciti in una ruota?
E quindi (per differenza dal 100%) qual è la probabilità che si trovi ancora almeno un ritardatario?

Indico brevemente come realizzare un foglio excel che permette una stima precisa dell'andamento della probabilità di sortita di x qualsiasi dei 90 numeri del lotto in funzione di n estrazioni successive.

- Nelle prime tre righe si pone un titolo esaustivo del lavoro che viene svolto
- Nella riga 5, partendo dalla colonna B fino alla colonna CM, si inseriscono i numeri da 1 a 90
- Nella colonna A, da A6 a esempio A245, si inseriscono i numeri da 1 a 240, che stanno ad indicare il numero delle estrazioni
- Nelle celle delle colonne B C D E, da B6 a E245, vanno inseriti tutti 0, in quanto la probabilità di ottenere 1 o 2 o 3 o 4 numeri già dopo la prima estrazione è ovviamente nulla
- Nella cella F6 deve essere digitato 1, che corrisponde alla probabilità di ottenere 5 numeri dopo 1 estrazione.
Ovviamente, in tutte le celle da G6 a CM6 deve essere inserito 0, in quanto ad ogni estrazione si estraggono 5 numeri, e dopo la prima non è possibile che ce ne siano 6 o di più
- Nella cella F7 si inserisce la formula =5*4*3*2/5273912160*F6
Si fa un copia - incolla sulla stessa colonna F fino a F245. Questa è la probabilità di avere sempre, nelle varie estrazioni successive, la ripetizione degli stessi 5 numeri sortiti alla prima estrazione
- Nella cella G7, attenzione a non sbagliare!, si inserisce questa formula
=(G6*G&5*F&5*E&5*D&5*C&5+F6*5*(90-F&5)*F&5*E&5*D&5*C&5+E6*10*(90-F&5)*(90-E&5)*E&5*D&5*C&5+D6*10*(90-F&5)*(90-E&5)*(90-D&5)*D&5*C&5+C6*5*(90-F&5)*(90-E&5)*(90-D&5)*(90-C&5)*C&5+B6*(90-F&5)*(90-E&5)*(90-D&5)*(90-C&5)*(90-B&5))/5273912160
* Ho dovuto mettere il carattere & anzichè il carattere dollaro, che qui ha scopo diverso e che dovrà invece essere sostituito nel foglio excel

Fare copia-incolla sulla riga fino a CM7
Selezionare da G7 a CM7 e fare copia-incolla fino all'ultima riga G245:CM245

La tabella si riempie di numeri, che corrispondono al valore di probabilità di avere l'uscita della quantità dei numeri indicata nella riga 5 dopo il numero di estrazioni della colonna A.

L'errore dei risultati così ottenuti dipende solo dall'arrotondamento e troncamento dei calcoli fatti da excel (cioè dal numero di cifre significative che excel memorizza e utilizza).

BUON LAVORO!

Nino