gradi di libertà residui regressione esponenziale

[pracy]

Scusate avrei bisogno di una mano,
qual'è la formula per calcolare lo scarto standard dei residui in una regressione di tipo esponenziale??

Ossia io calcolo comunque la sommatoria delle differenze al quadrato tra i valori osservati e quelli previsti dal modello di approssimazione esponenziale, (SSE)
ma questo valore per quanto poi va diviso? se la numerosità campionaria è ad es. 24, a quanto ammontano i gradi di libertà?
io ritenevo 22..

grazie per ogni eventuale suggerimento

[pracy]

Cosa intendi per "regressione di tipo esponenziale"?

intendo: $ y=Ce^(Ax) rArr lny=Ax+lnC $
vorrei calcolare lo scarto standard dei residui derivati dal calcolo delle y stimate seguendo il modello suddetto.
Una volta che però arrivo ad avere $ sum(y-hat(y))^2=sum(y-(Ce^(Ax)))^2=SSE $
non riesco bene a capire per quanti gradi di libertà devo dividerlo (credevo n-1-1).

[pracy]

intendo: $ y=Ce^(Ax) rArr lny=Ax+lnC $

Questo purtroppo non basta, perché bisogna aggiungere un termine d'errore. Per poter linearizzare, si deve assumere che l'errore sia moltiplicativo: \( y=Ce^{Ax}\varepsilon \), che diventa \( \ln y=\ln C+Ax+\ln \varepsilon \). Inoltre, per poter applicare i test usuali, si deve anche intendere che \( \ln \varepsilon\sim N(0,\sigma^2) \).

Ti ringrazio per le correzioni e scusa le mie imprecisioni.

vorrei calcolare lo scarto standard dei residui derivati dal calcolo delle y stimate seguendo il modello suddetto.
Una volta che però arrivo ad avere $ sum(y-hat(y))^2=sum(y-(Ce^(Ax)))^2=SSE $...

Puoi prendere \( \ln y=\ln C+Ax+\ln \varepsilon \) come una qualsiasi regressione lineare, in cui \( E[\ln y]=\ln C+Ax \) in quanto \( \ln\varepsilon \) ha media nulla. In questo caso, ponendo \( Y=\ln y \), puoi calcolare \( \sum(Y-\hat Y)^2=\sum[Y-(\ln C+Ax)]^2 \). I gradi di libertà sono \( n-2 \).

Volevo però allora chiederti se ad SSE divido i gradi di libertà, per trovare lo scarto standard devo poi comunque successivamente estrarre la radice quadrata, giusto? oppure trattandosi del modello esponenziale si agisce diversamente?

Ho un esempio concreto che non riesco a ricostruire $ SSE=sum(Y-hat(Y) )^2 = 86,18278 $
e lo scarto standard dovrebbe risultare: $ s_(xy)=3,9174 $
Se però effettuo i calcoli il valore riportato sopra corrisponde a: $ (SSE)/(n-2)=(86,18278)/(22)=3,9174 $
Per trovare quindi lo scarto standard non dovrei estrarne la radice quadra?
$ s_(xy)=sqrt(3,9174) = 1,9792 $

Nel calcolo dello scarto standard residuo per i modelli lineare e quadratico ho effettuato tali operazioni.
Si tratta di un esercitazione di cui sto cercando di risalire ai vari passaggi.

[pracy]

Potrebbe essere una questione di terminologia, anche perché non saprei proprio cosa intendere per "scarto standard".
SSE vuol dire sum of squared errors (una devianza). Dividendo per i gradi di libertà si ottiene l'MSE, mean squared error (una varianza).
Poi c'è lo standard error, che però non è semplicemente la radice quadrata dell'MSE.
Lo standard error per i due parametri, intercetta \( \ln C \) e coefficiente \( A \), è la radice quadrata dell'MSE moltiplicato per, rispettivamente, il primo e il secondo elemento della diagonale principale della matrice \( (X'X)^{-1} \), dove \( X \) è la matrice di disegno, una matrice che in questo caso ha due colonne: una colonna di tutti 1 e una colonna con gli \( n \) valori delle \( x \).

Grazie per le precisazioni, il fatto è che nei testi dove studio viene utilizzato indifferentemente scarto standard ed errore standard.

Io cercavo lo standard error congiunto di x ed y, pertanto dovrebbe essere sufficiente fermarmi a: $ sqrt((MSE)/(n-2)) $
Probabilmente, il valore per cui avevo dei dubbi (discusso nel post precedente) deve essere un errore di stampa.

Ho provato però ad effettuare il calcolo dello standard error per i due parametri (ma per quanto riguarda il semplice modello lineare), secondo le indicazioni da te gentilmente fornite (calcolo del prodotto tra la matrice trasposta di x e la matrice di x, successivo calcolo della matrice inversa), ma il risultato non mi torna. Se utilizzo la funzione "analisi dati - regressione" di Excel, trovo due valori differenti. Evidentemente devo saltare qualche passaggio.

In ogni caso ti ringrazio per la pazienza e le preziose delucidazioni.

[pracy]

Io cercavo lo standard error congiunto di x ed y, pertanto dovrebbe essere sufficiente fermarmi a: $ sqrt((MSE)/(n-2)) $

???
Lo standard error si riferisce ai parametri (è una misura dell'incertezza della loro stima), non ai dati.
Puoi avere uno standard error per la stima di \( \ln C \) e uno per la stima di \( A \), non uno "standard error congiunto (?) di x e y". E quegli standard error vanno calcolati come ti dicevo per poter poi effettuare dei test \( t \).
Inoltre, essendo \( MSE=\frac{SSE}{n-2} \), non capisco proprio cosa sarebbe \( \sqrt{\frac{MSE}{n-2}} \).

Perdonami ho scritto male la formula, per standard error intendevo la radice quadra di MSE (era questo che mi serviva in origine di sapere).

Per il resto, non stavo minimamente mettendo in dubbio che quanto da te suggerito non fosse corretto (se ho lasciato intendere questo, chiedo venia). Semplicemente che pur provando a metterlo in pratica, la soluzione che trovavo non era la medesima che ottenevo attraverso la funzione "analisi dati" di excel. L'errore lo commetto sicuramente io, però evidentemente non sono in grado di spiegarlo con la sufficiente chiarezza.

Grazie ancora dell'aiuto