Estrazione s. r. di palline di diverso volume da urna nota!

[Bubbino1993]

Buongiorno. Mi è venuto in mente quest'ipotetico problema. Immaginiamo di avere un'urna di composizione nota, costituita da 5 palline; su ogni pallina, per distinguerle, vi è una lettera: $A, B, C, D, E$. Ipotizziamo che ogni pallina abbia la stessa probabilità di essere estratta (eventi equiprobabili). Voglio sapere la probabilità che esce la pallina con lettera $B$ se estraggo senza restituzione per 3 volte dall'urna. Naturalmente:

$p=1/5*1*1+4/5*1/4*1+4/5*3/4*1/3=3/5$

Si poteva anche dirlo direttamente, senza tutti quei calcoli. Ma se le palline non avessero stessa probabilità di essere estratte? Ipotizziamo che le palline abbiano volumi diversi: in questo caso, è ovviamente più facile che si vadano ad estrarre le palline più grandi, rispetto a quelle più piccole. Consideriamo ad esempio che le palline abbiano i seguenti volumi:

$V_A=0.0284dm^3, V_B=0.5276dm^3, V_C=0.1459dm^3, V_D=0.1701dm^3, V_E=0.128dm^3$

Come ottengo qui la probabilità, come prima, che esca la pallina con lettera $B$ se estraggo senza restituzione per 3 volte dall'urna? Cioè: esiste un modello matematico che sia in grado di considerare anche questa variabile? Grazie.

[valeporpo]

Buongiorno. Mi è venuto in mente quest'ipotetico problema (spero abbia un fondamento logico). Immaginiamo di avere un'urna di composizione nota, costituita da 5 palline; su ogni pallina, per distinguerle, vi è una lettera: $A, B, C, D, E$. Ipotizziamo che ogni pallina abbia la stessa probabilità di essere estratta (eventi equiprobabili). Voglio sapere la probabilità che esce la pallina con lettera $B$ se estraggo senza restituzione per 3 volte dall'urna. Naturalmente:

$p=1/5*1*1+4/5*1/4*1+4/5*3/4*1/3=3/5$

Si poteva anche dirlo direttamente, senza tutti quei calcoli. Ma se le palline non avessero stessa probabilità di essere estratte? Ipotizziamo che le palline abbiano volumi diversi: in questo caso, è ovviamente più facile che si vadano ad estrarre le palline più grandi, rispetto a quelle più piccole. Consideriamo ad esempio che le probabilità di estrarre una data pallina nella 1° estrazione siano:

$P(A)=0.0284, P(B)=0.5276, P(C)=0.1459, P(D)=0.1701, P(E)=0.128$

Se ha senso, come ottengo qui la probabilità, come prima, che esca la pallina con lettera $B$ se estraggo senza restituzione per 3 volte dall'urna? Grazie.

Mi viene in mente solo questo, sempre che non mi sia sfuggito qualcosa:
Se assumi che la probabilità di estrazione sia proporzionale al volume (ma nel "mondo reale" non lo assumerei affatto):

$ p=P(B)\cdot1\cdot1+ sum_(i =A|i!= B)^(E) (P(i)\cdot(P(B))/(1-P(i))\cdot1) +$
$ + sum_(i =A|i!= B)^(E) [P(i)\cdot sum_(j =A|B!=j!= i)^(E)((P(j))/(1-P(i))\cdot(P(B))/(1-P(i)-P(j)))] $

[Bubbino1993]

Grazie 1000 per la risposta! Salvo sviste ottengo $P(B)=0.9512$... Mi pare ragionevole che la probabilità sia alta. Grazie, ciao!