Lotto: ambo che non esce

[Faussone]

Oggi vedendo questo filmato¹, tra i vari commenti sul fatto ne ho letto uno che riporto qui di seguito.

chissà da quanti decenni truccano il lotto. Possibile che da 6000 estrazioni non esca il 17-56 a bari ? Un ambo, con 5 nr estratti ha una probabilità su 400 di uscire. Secondo media matematica sarebbe dovuto uscire almeno 15 volte ! Molto strano. Probabilmente vedono che molta gente punta all'ambo 17-56 e quando decidono di "estrarre" il 17, tolgono il 56 e viceversa. Non mi stupirei visti i livelli di corruzione e marciume che contraddistingue l'Italia.

Ecco vorrei vedere, numeri alla mano, se la probabilità che tale ambo non esca per tutte quelle volte sia davvero così bassa da poter essere considerato come evento sospetto. Un volontario che fa i calcoli?
Io qualche tempo fa ho fatto qualcosa di simile in questa discussione sulla roulette, vorrei rifare qualcosa del genere per questo caso, ma non ho il tempo/voglia ora.

Grazie a chi si cimenterà!

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Note

1. Per inciso io sono dell'idea che si tratta di una coincidenza dovuta allo scambio del numero 27 col 21 e della conseguente sfiga che il 21 sia uscito dopo, certo non si può esserne sicuri, ma trovo improbabile una combine così male organizzata che uno dei responsabili conoscesse la sequenza dei numeri e si fosse tradito; perché mai sarebbe stato necessario mettere a conoscenza il tecnico che fa apparire i numeri in sovra impressione dei numeri che sarebbero usciti? ↑

[Faussone]

Mi sono reso conto che il quesito è forse molto più banale di quello che pensavo e devo dire che la probabilità che un certo ambo non esca per 6000 estrazioni è così rara da essere per forza un evento sospetto (se qualcuno ha voglia di fare i conti, che sono semplici....)
Possibile che sia vero? Intendo che se davvero per tutte quelle estrazioni quell'ambo non è uscito mi pare ci debba essere qualche manipolazione per forza.
O c'è qualcosa che mi sfugge? Che sia da considerare, in analogia a quanto ho fatto per la discussione sulla roulette linkata sopra, la probabilità che, date tutte le possibili coppie di numeri, ce ne sia almeno una che non esca per quel numero di estrazioni? Certo in tal caso la probabilità che un evento simile si verifichi sarebbe molto più alta (anche qui se qualcuno vuole fare il conto)... Però non saprei quale criterio sia più giusto per valutare se l'evento sia sospetto.

Cosa ne pensate?

[nino_]

(Salvo errori) questo è il massimo ritardo che ci si può attendere mediamente per ambo su ruota fissa in una serie di numeri.

La partenza per il calcolo è la formula del decadimento, che descrive anche l'andamento estrazionale del lotto:

$N = (No) * exp(-Kd*E)$

dove $N$ rappresenta i numeri vergini partendo da $No$, dopo $E$ estrazioni, mentre $Kd$ è la costante di decadimento, che io esprimo come logaritmo naturale dell'inverso della probabilità contraria per un determinato evento.
Per l'estratto, $Kd = ln(1/(17/18)) = ln(18/17) = 0,057158$...
Per l'ambo in due numeri, $Kd = ln(1/(3995/4005)) = ln(4005/3995) = 0,0025$...
ecc...

Al posto di $(No)/N$ sostituiamo la massa estrazionale (rettificata per la situazione che si va ad esaminare) e al posto del numero di estrazioni $E$ sostituiamo il ritardo massimo ($Rmax$):

$M = exp(Rmax * Kd)$

Da cui:

$Rmax = ln(M)/(Kd)$

Non ci resta che formalizzare $M$, cioè la massa estrazionale, che nel caso dell'ambo è uguale al numero di estrazioni storiche (circa 9000) moltiplicato per le ruote (11) e per il numero di ambi che si hanno ad ogni estrazione di 5 numeri (10);
quindi:
$9.000 * 11 * 10 = 990.000$ che arrotondiamo a 1 milione, non cambia nulla...
Questo valore è però corretto solo nel caso si giochino due numeri per l'ambo!
Nel caso si abbia una serie (con n da 3 a 10 numeri), è necessario apportare una correzione, moltiplicando per questo fattore:
$Comb(88,n-2)$

In definitiva, indicando con $E$ il numero delle estrazioni, con $r$ il numero delle ruote e con $C$ il numero delle combinazioni:

$M = E * r * C(5,2) * C(88,n-2)$

Concludendo, per le serie da 2 a 10 numeri con sorte ambo, abbiamo questi valori di $M$, $Kd$ e $Rmax$:

2 Numeri -----> M = 1.000.000 -----> Kd = 0,002500001 -----> Rmax = 5526
3 Numeri -----> M = 8.800E+07 -----> Kd = 0,007347321 -----> Rmax = 2490
4 Numeri -----> M = 3.828E+09 -----> Kd = 0,014409497 -----> Rmax = 1531
5 Numeri -----> M = 1.097E+11 -----> Kd = 0,023571265 -----> Rmax = 1078
6 Numeri -----> M = 2.332E+12 -----> Kd = 0,034732095 -----> Rmax = 820
7 Numeri -----> M = 3.918E+13 -----> Kd = 0,047804177 -----> Rmax = 655
8 Numeri -----> M = 5.419E+14 -----> Kd = 0,062710756 -----> Rmax = 541
9 Numeri -----> M = 6.348E+15 -----> Kd = 0,079384756 -----> Rmax = 458
10 Numeri -----> M = 6.428E+16 -----> Kd = 0,097767627 -----> Rmax = 396

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Per evitare equivoci, quello calcolato è il massimo ritardo MEDIO di una serie ripetuta di prove, ciascuna di x (=9000) estrazioni di 5 numeri per 11 ruote.
In realtà, NON esiste un massimo ritardo UNICO e vero in assoluto: non si può infatti escludere che un ambo NON esca mai per tutte le n estrazioni e quindi in teoria in questo caso il ritardo massimo sarebbe n.

Il vaglio statistico delle estrazioni dall'8 gennaio 1871 ad ora, circa 9000 estrazioni, conferma la validità dei risultati che ho riportato per l'ambo ( 3 numeri = 2372 estrazioni, 4 numeri = 1498 estrazioni, 5 numeri = 1054 estrazioni, ecc...) salvo il caso di 2 numeri, in cui il famigerato 17 - 56 di Bari ritarda di oltre 6200 estrazioni.

[Faussone]

Grazie nino_.
Confesso che non sono stato in grado di comprendere tutti i passaggi di ciò che hai scritto (conosco un po' di statistica, ma da dilettante e molte nozioni mi mancano), tuttavia posso dire che quello che hai riportato, seppur interessante, non risponde comunque ai miei dubbi.
Tu hai messo in luce, se ho capito bene, quanto sia il ritardo medio massimo che ci si può aspettare per l'uscita di un ambo in 9000 estrazioni nel caso si giochino due numeri, tre numeri ecc io invece mi chiedo quale sia la probabilità di poter avere un ritardo di un ambo per esempio pari a 6000 estrazioni, in altre parole quale è la probabilità che un ambo non esca per (almeno) 6000 estrazioni.

Chiedo questo per vedere se tale probabilità sia così bassa da considerare, ragionevolmente (visto che in statistica niente è certo al 100%), fraudolenta l'estrazione. Insomma voglio stimare la significatività (che è quello che si fa normalmente per valutare se un fenomeno è causale o no).

Il dubbio che ho è che posso vedere la cosa da diversi punti di vista:

1) assumo di aver osservato il 17 e 56 sulla ruota di Bari per 6000 estrazioni e di aver visto che non è mai uscito, la probabilità di verificarsi di una cosa del genere è davvero bassa (se non ho sbagliato i conti risulta attorno a 3 su 10milioni) tanto da far pensare che ci sia qualcosa di altamente sospetto.

2) assumo di osservare i ritardi di tutti i possibili ambi sulla ruota di Bari e di osservarne almeno uno pari a 6000 estrazioni, la probabilità che questo si verifichi è pari (errori a parte) a circa 1 su 1000 quindi, seppure sospetta, già lo è molto meno di prima.

3) assumo di osservare i ritardi di tutti i possibili ambi su 11 e ruote e di osservarne almeno uno pari a 6000, la probabilità che questo si verifica è superiore a 1 su 100, quindi già siamo a livelli statistici che non consentono l'uso del "ragionevolmente" con troppa disinvoltura.

4) Potrei anche complicare le cose e considerare tutte le estrazioni avvenute per esempio dal 1871 e calcolare la probabilità che almeno un ambo su almeno una ruota abbia avuto un ritardo di 6000 estrazioni e tirare fuori una probabilità ancora maggiore. O ancora osservare tutti i ritardi di tutte i possibili ambi, terni e quaterne ecc su tutte le ruote dal 1871 e vedere quanto valga la probabilità che ce ne sia almeno uno su almeno una ruota pari a 6000 estrazioni.
Oppure monitorare non solo l'uscita di ambi, terni ecc, ma nello stesso tempo tutte le altre possibili anomalie.

Come accade in statistica il punto di vista cambia notevolmente le cose...
Secondo voi quale sarebbe la maniera più ragionevole per valutare se questo famigerato ambo su Bari sia in qualche modo truccato?
Per l'esempio della roulette del link che ho messo sopra, in cui era stato detto che erano state osservate esplicitamente un certo numero di uscite di numeri e monitorate tutte le frequenze, è stato più semplice dimostrare che quella roulette aveva delle uscite sospette, ma qui non saprei.
Le anomalie accadono insomma...

Secondo me comunque è molto improbabile che ci sia un trucco e non per considerazioni statistiche ma logiche: chi avrebbe vantaggio a truccare la ruota di Bari? Lo Stato ha margini talmente ampi sul Lotto che non ha certo bisogno di ricorrere a trucchi (con i conseguenti rischi) per guadagnare, d'altra parte potrebbe aver senso truccare una ruota per far uscire dei numeri, ma non per ritardare un ambo.

[fraxy]

cari matematici,non c'è bisogno di fare calcoli,i numeri hanno tutti le stesse probabilità di uscire,bisogna vedere anche di tutte le cinquine esistenti,quante cinquine contengono il 17 e il 56,è possibile che in n!(6000) eventi non sia ancora uscita una cinquina con il 17 e il 56 presenti,da notare che le cinquine sono divise per il numero di ruote,non è come il superenaloto,al lotto ci sono 10 ruote + nazionale,se un ambo esce per esempio ogni 500 estrazioni,anche meno,6000 sono poche per un'ambo su una ruota,almeno,per 500,dovrebbe uscire dopo circa 4000 strazioni,ma si sa,i numeri sono casuali,è possibile che esca come tra 32 anni come tra una settimana,le possibilità sono identiche,se uno gioca 1 euro o fa un sistemone da 15.000 euro le possibilità sono esattamente le stesse,come il sistemista può fare dall'ambo alla cinquina,anche quello che ha giocato 1 euro può

[Faussone]

cari matematici,non c'è bisogno di fare calcoli,[....]

Grazie del tuo contributo, che tuttavia, mi spiace, è ben poco utile per me e, scusami, anche abbastanza banale.

Ti faccio notare che nessuno qui ha mai detto che in ogni singola estrazione la probabilità che esca un certo ambo cambi in alcun modo all'aumentare delle estrazioni, né nessuno ha mai detto che sia possibile dire a priori dopo quante estrazioni un certo ambo debba necessariamente uscire: è ovvio per chiunque conosca qualche elemento di statistica che una domanda del genere è del tutto priva di significato.

Il mio dubbio era come debba correttamente stimarsi la probabilità che un certo evento (uscita di un certo ambo) non si verifichi per un certo numero di estrazioni, per vedere se è possibile trarre conclusioni sulla regolarità delle estrazioni da un punto di vista meramente statistico e probabilistico, che è cosa ben diversa.
Rimando alla lettura del mio precedente messaggio a proposito, ne approfitto per stimolare commenti ai dubbi che avevo espresso lì.


@fraxi
Una cosa che c'entra (solo parzialmente) con questo discorso: lo sai che giocando un ambo tutte le settimane, indipendentemente dai numeri giocati (puoi giocare gli stessi numeri o cambiarli ogni volta e persino cambiare la ruota su cui giochi l'ambo), la tua probabilità di vincere aumenta ogni settimana? Peccato questo serva a poco: non è possibile dire dopo quante settimane vincerai ovviamente, ma solo stabilire in che modo la tua probabilità cresca all'aumentare delle giocate: dopo 6000 estrazioni hai una probabilità irrisoria di non aver ancora mai vinto, ma, incredibilmente anche se non avessi vinto per 5999 volte, nonostante tutto la probabilità che vincerai alla 6000 estrazione è comunque la stessa che se giochi per la prima volta. "Paradossi" della statistica.

[vict85]

Ogni estrazione è indipendente l'una dall'altra. Quindi anche supponendo che l'ambo abbia $1/400$ di probabilità di uscire, la probabilità che non esca per 6000 estrazioni è $(399/400)^(6000)$. Un valore molto piccolo ma superiore alla probabilità di fare 6 al superenalotto.

In ogni caso il fatto che non sia uscita nelle precedenti 6000 estrazioni non aumenta la probabilità che esca nella successiva.

[Faussone]

Grazie vict85, ma questo è più o meno quello che ho detto anch'io...
Riesci invece a dire cosa ne pensi rispetto a quanto dicevo qui?

[vict85]

Si può utilizzare un test di ipotesi per testare se il sistema è equo, ma non esiste un massimo. Insomma l'evento che quell'ambo non esca mai ha probabilità 0, ma questo non lo rende impossibile.
Inoltre i test di ipotesi hanno un livello di significatività ben preciso. Ovvero possono al più dire che è altamente probabile che sia truccato, ma non forniscono certezze.

[Faussone]

Si può utilizzare un test di ipotesi per testare se il sistema è equo

Puoi darmi riferimenti su questo? Sono curioso di vedere di cosa si tratta.

Inoltre i test di ipotesi hanno un livello di significatività ben preciso. Ovvero possono al più dire che è altamente probabile che sia truccato, ma non forniscono certezze.

Certo lo so bene, ma è ovvio che se un evento ha una probabilità inferiore allo 0.1% di verificarsi per caso vuol dire che probabilmente (non certamente) non è frutto del caso. D'altronde in medicina si usano soglie di significatività dello 0.1% o anche più alte per testare l'effetto di un nuovo farmaco o di un trattamento.

La domanda non era tanto su questo comunque, ma su quale punto di vista sarebbe più opportuno adottare per valutare la significatività (tra le opzioni 1-2-3-4 ecc che avevo descritto sopra quale ti/vi sembrava ragionevole?) dell'evento "non uscita di un ambo in 6000 estrazioni". Nella discussione sulla roulette linkata sopra avevo usato un approccio simile, ma lì era più semplice scegliere il punto di vista per valutare al significatività.

Può anche darsi che stia sbagliando l'approccio metodologico, ma a me questa pare l'unica strada per pesare quanto un certo evento possa essere o no casuale.