Legendre transform

[GuidoFretti]

Sinceramente non ho capito.
Quindi calcolo la derivata di $l(t)$ e vedo se è zero, come un normale studio di funzione.

No. $l$ è una funzione di $z$. È definita come il sup su tutti i valori reali di $t$ di una qualche espressione.

Non dicono "max" perché ci potrebbe non essere un massimo. E certo, quello che trovi derivando rispetto a $t$ e mettendo a 0 potrebbe essere un minimo. E magari il sup non è un massimo locale. In generale, sembra un bel casino.

Non conoscevo la trasformata di Legendre prima di.. ieri? Quindi ne sai quanto me. Abbiamo una definizione. Usiamola!

Mi sto perdendo: perché se $l(z)$ è una funzione di $z$ io cerco di calcolo la derivata rispetto a $t$?

Inoltre come posso cercare il $Sup$ su tutti i $t in RR$ dell'espressione che ho ottenuto se questa dipende anche da $p$ e $z$?

È qui che con la sola definizione non so più andare avanti minimamente

[ghira]

Mi sto perdendo: perché se $l(z)$ è una funzione di $z$ io cerco di calcolo la derivata rispetto a $t$?

Guarda la definizione. $l(z)$ è il sup (su $t$ in $RR$) dei valori di un'espressione che contiene $t$. Quindi trovi il valore di $t$ che massimizza l'espressione (e poi il valore dell'espressione per quel valore di $t$) o trovi il sup dei valori dell'espressione se non c'è un massimo.

Inoltre come posso cercare il $Sup$ su tutti i $t in RR$ dell'espressione che ho ottenuto se questa dipende anche da $p$ e $z$?

Se cambi $t$, non succede nulla a $z$ e $p$. Hai provato a massimizzare l'espressione rispetto a $t$? (Io sì. Se posso farlo io puoi farlo tu. Ti avverto che il mio duppallometro dice "2" ma alla fine il compito è tuo. Mi sa che ti tocca.)

[GuidoFretti]

Dunque se ho capito bene quello che devo fare è calcolare la derivata rispetto a $t$ di $l(z)$, porla uguale a zero e fare uno "studio di funzione" per cercare il
massimo di quella funzione?
Se lo trovo quello è automaticamente anche il mio $Sup$ ed ho concluso.
Trovato quel valore di $t$ lo metto nell'espressione di $l(z)$ ed ho finito.

Perché io calcolo

$d/(dt)(tz-log(1-p+pe^t))=z-(pe^t)/(1-p+pe^t)$

Ma poi se pongo uguale a zero ottengo

$(pe^t)/(1-p+pe^t)=z$ e non so più come andare avanti per trovare il valore di $t$.

Soprattutto per capire se è una max o un min non dovrei fare anche lo studio del segno della derivata?
E qui mi perdo ancora di più.

Se riesci a farmi capire te ne sarei grato, grazie

[Mephlip]

Hai:
$$\frac{pe^t}{1-p+pe^t}=z \iff pe^t=z-pz+pze^t$$
Quest'ultima si risolve esplicitamente.

[GuidoFretti]

Ci sono ma fino ad un certo punto.

Se non ho sbagliato conti,

$e^t=(z(1-p))/(p(1-z))$ e quindi trovo

$t=log((z(1-p))/(p(1-z)))$

Ma ora sapendo solo che $p in (0,1)$ e nessuna informazione su $z$ come posso capire se la $t$ trovata è un massimo oppure un minimo?

Non devo studiare il segno della derivata?
Grazie

[ghira]

Dunque se ho capito bene quello che devo fare è calcolare la derivata rispetto a $t$ di $l(z)$

No.

[ghira]

Ma ora sapendo solo che $p in (0,1)$ e nessuna informazione su $z$ come posso capire se la $t$ trovata è un massimo oppure un minimo?

In questo caso specifico, guardando la funzione è chiaro che non può avere un minimo locale. In generale, magari è almeno potenzialmente un casino.

[ghira]

nessuna informazione su $z$

Beh, lo fai per ogni $z$. In ogni singolo caso sai tutto su $z$. È il valore che stai usando in quel momento.

[GuidoFretti]

Ma ora sapendo solo che $p in (0,1)$ e nessuna informazione su $z$ come posso capire se la $t$ trovata è un massimo oppure un minimo?

In questo caso specifico, guardando la funzione è chiaro che non può avere un minimo locale. In generale, magari è almeno potenzialmente un casino.

Quindi la t che ho trovato adesso sostituendola mi dà l'espressione di $l(z)$.

Ma perché osservando la funzione è chiaro che non possa avere un minimo e quella $t$ trovata è proprio il $max$ e corrisponde al $Sup$?

Non mi è chiaro e non ci sarei arrivato.

Mi confermi che

$l(z)=t*log((z(1-p))/(p(1-z)))-log(1-p+(z(1-p))/(p(1-z)))$

Grazie

[ghira]

Ma perché osservando la funzione è chiaro che non possa avere un minimo e quella $t$ trovata è proprio il $max$ e corrisponde al $Sup$?

Credo che per molti valori di $z$ il Sup sia infinito.