Salve, sto svolgendo questo esercizio:
Date due urne A e B, si supponga che l’urna A sia composta da 4 biglie bianche e 6 nere mentre l’urna B ne contenga 5 bianche e 5 nere. Si estraggono a caso (senza reinserimento) due biglie dall’urna A e una dall’urna B.
(i) Calcolare la probabilità che la maggioranza delle biglie estratte siano bianche;
(ii) Sapendo che la maggioranza delle biglie estratte sono bianche, qual è la probabilità che la prima biglia estratta dall’urna A sia bianca?
Come andrebbe svolto?
Il primo punto l'ho impostato creando due casi, cioè il primo in cui vengono estratte 2 bianche dalla urna A e 1 qualsiasi dalla B, e il secondo caso in cui vengono estratte 1 Bianca e 1 Nera dalla A e 1 Bianca dalla B.
Ho sommato le probabilità dei due casi per trovare la probabilità del primo punto.
1 Caso: $ 4/10 * 3/10 * 1 = 2/15 $
2 Caso: $ ( ((4),(1)) * ((6),(1)) )/((10),(2)) * 1/2 = 4/15$
Lo chiamerò P(C), $ P(C) = 2/15 + 4/15 $
Nel secondo punto ho usato il teorema di Bayes.
Sia W= {La prima biglia estratta dall'urna A è bianca}
Secondo il teorema, $ P(W|C)= (P(C|W) * P(W))/(P(C) $
P(W) è semplicemente $ 4/10 $
P(C|W) invece l'ho diviso anch'esso in due casi, cioè il primo in cui estraggo 1 Bianca da A e 1 qualsiasi da B, e il secondo caso in cui estraggo 1 Nera da A e 1 Bianca da B.
Mi trovo per entrambi i casi $ 1/3 $, per cui $ P(C|W)= 2/3 $
Sostituisco tutto nel teorema di Bayes e mi trovo $ P(W|C)= 2/3 $
Ho fatto correttamente? Apro questa discussione in quanto sono molto insicuro ed è la prima volta che studio questi argomenti.
Inoltre, se davvero avessi fatto correttamente, come dovrei comportarmi nel caso in cui i casi siano troppi e per cui un metodo del genere sarebbe insostenibile?
Grazie mille in anticipo!