risoluzione problema

[sisifo02]

Il testo è il seguente:

Albino e Ben si sfidano a scacchi e decidono di continuare a
giocare finché uno dei due non vinca una partita. Supponiamo che i risultati
delle partite siano indipendenti e che Albino vinca con probabilità 1/2 e Ben
con probabilità 1/3 ogni singola partita.
a) Ricavare la probabilità di patta in una partita fra Albino e Ben.
b) Calcolare il numero atteso di partite giocate affinché la sfida abbia un
vincitore.
c) Calcolare la probabilità che la sfida venga vinta da Albino.

per il primo punto ho pensato di trovare la probabilità che sia Albino che Ben vincano o perdano e mi viene 0.5.
Per gli altri due punti non ho idea di cosa fare

[ghira]

Supponiamo che i risultati
delle partite siano indipendenti e che Albino vinca con probabilità 1/2 e Ben
con probabilità 1/3 ogni singola partita.

per il primo punto ho pensato di trovare la probabilità che sia Albino che Ben vincano o perdano e mi viene 0.5.

"la probabilità che sia Albino che Ben vincano o perdano" cosa vuol dire?

A vince con probabilita 1/2. B vince con probabilità 1/3.

La probabilità di patta è...?

[ghira]

b) Calcolare il numero atteso di partite giocate affinché la sfida abbia un
vincitore.
c) Calcolare la probabilità che la sfida venga vinta da Albino.

Per gli altri due punti non ho idea di cosa fare

Cosa dice il libro di testo o cosa dicono le dispense su problemi di questo tipo?

Per (b) se non conosci modi più veloci puoi farlo a mano:

Qual è la probabilità che la sfida abbia un vincitore dopo 0 partite? 1 partita? 2 partite? ... $k$ partite?

O più velocemente:

Sia "0" lo stato iniziale con nessun vincitore. "1" lo stato con un vincitore. Qual è la probabilità di passare dallo stato 0 allo stato 0 dopo una partita? Qual è la probabilità di passare dallo stato 0 allo stato 1 dopo una partita?

[sisifo02]

Supponiamo che i risultati
delle partite siano indipendenti e che Albino vinca con probabilità 1/2 e Ben
con probabilità 1/3 ogni singola partita.

per il primo punto ho pensato di trovare la probabilità che sia Albino che Ben vincano o perdano e mi viene 0.5.

"la probabilità che sia Albino che Ben vincano o perdano" cosa vuol dire?

A vince con probabilita 1/2. B vince con probabilità 1/3.

La probabilità di patta è...?

intendo che ho pensato di fare:

P(A = 0, B = 0) U P(A = 1, B = 1)
dove A e B sono variabili aleatorie bernoulliane

[ghira]

intendo che ho pensato di fare:

P(A = 0, B = 0) U P(A = 1, B = 1)
dove A e B sono variabili aleatorie bernoulliane

Ti chiederei di spiegarti ma forse faccio prima se dico che è tutto sbagliato.

Vedi la domanda che ti ho fatto.

[Martino]

Visto che son passati un po' di giorni rispondo scrivendo quello a cui ho pensato, mi ha fatto rivivere i bei giorni in cui studiavo probabilità

Albino e Ben si sfidano a scacchi e decidono di continuare a
giocare finché uno dei due non vinca una partita. Supponiamo che i risultati
delle partite siano indipendenti e che Albino vinca con probabilità 1/2 e Ben
con probabilità 1/3 ogni singola partita.
a) Ricavare la probabilità di patta in una partita fra Albino e Ben.

Questo è semplicissimo, chiamando $x$ la probabilità di patta, siccome in ogni partita o vince A (Albino), o vince B (Ben) oppure finisce patta, abbiamo che $1/2+1/3+x=1$ cioè $x=1/6$.

b) Calcolare il numero atteso di partite giocate affinché la sfida abbia un vincitore.

Questo è molto più interessante, e direi che abbiamo bisogno di uno spazio campionario. Prendiamo per esempio l'insieme di tutte le sequenze finite $(r_1,r_2,r_3,...,r_n)$ di simboli A, B, P (cioè $r_i in {A,B,P}$ per ogni $i$) tali che $r_i=P$ per ogni $i < n$ e $r_n in {A,B}$. Qui $r_i=A$ significa che $A$ vince la $i$-esima partita, $r_i=B$ significa che $B$ vince la $i$-esima partita e $r_i=P$ significa che la $i$-esima partita finisce patta. Ovviamente $A$ indica Albino, $B$ indica Ben. Ogni sequenza rappresenta un match. E ovviamente tutte le sequenze di cui sopra vanno incluse nello spazio campionario perché, sebbene il match consista di un numero finito di partite, non possiamo escludere che il numero di partite di un match sia arbitrariamente grande.

Un match per esempio potrebbe andare così: $(P,P,P,B)$, che significa che le prime tre partite sono patte e $B$ vince la quarta. La probabilità che $A$ vinca il match dopo $n$ partite è $P_A(n)=(1/6)^(n-1) 1/2$ (patta nelle prime $n-1$ partite, e $A$ vince la $n$-esima), la probabilità che $B$ vinca il match dopo $n$ partite è $P_B(n)=(1/6)^(n-1) 1/3$ (patta nelle prime $n-1$ partite, e $B$ vince la $n$-esima). Chiamiamo $P(n)$ la probabilità che il match duri esattamente $n$ partite. E' chiaro che $P(n)=(1/6)^(n-1) (1-1/6)$ che si può anche scrivere come $P_A(n)+P_B(n)$. Il numero atteso di partite giocate in un match si può esprimere come

$sum_{n=1}^{oo} n * P(n) = sum_(n=1)^(oo) n * (1/6)^(n-1) 5/6 = 6/5 = 1.2$.

Il calcolo del valore di questa serie non è banalissimo ma lo ometto. Probabilmente c'è un modo per calcolare questo numero senza passare per la serie, ma non sono freschissimo con la probabilità.

c) Calcolare la probabilità che la sfida venga vinta da Albino.

Usando la notazione di cui sopra, la probabilità che $A$ vinca il match è data da $sum_(n=1)^(oo) P_A(n) = sum_(n=1)^(oo) 1/2 (1/6)^(n-1) = 3/5$ e la probabilità che $B$ vinca il match è $1-3/5=2/5$.

Per dare un esempio più semplice, possiamo (analogamente a sopra) calcolare il numero atteso di lanci di un dado con 6 facce per ottenere 6 (cioè lancio il dado finché non ottengo 6, quanti lanci faccio in media?). La probabilità di fare 6 al lancio $n$-esimo e non prima è $(5/6)^(n-1) 1/6$ e quindi il numero atteso di lanci per ottenere 6 è

$sum_(n=1)^(oo) n (5/6)^(n-1) 1/6 = 6$

Guarda un po'

[ghira]

Il calcolo del valore di questa serie non è banalissimo ma lo ometto. Probabilmente c'è un modo per calcolare questo numero senza passare per la serie, ma non sono freschissimo con la probabilità.

Se volessi conoscere la risposta calcolerei $\frac{1}{\frac{5}{6}}=\frac{6}{5}$ e basta ma dovendo convincere qualcuno della sua correttezza farei così:

Siano gli stati "0" se nessuno ha vinto e "1" se qualcuno ha vinto. Chiamiamo il numero di partite per arrivare allo stato 1 dallo stato $i$ "$T(i)$".

$T(1)=0$ perché siamo già lì. $T(0)=1+\frac{1}{6}T(0)+\frac{5}{6}T(1)$ in quanto cominciando da 0 facciamo una partita e poi ripartiamo dallo stato in cui ci troviamo. Visto che $T(1)=0$ abbiamo
$T(0)=1+\frac{1}{6}T(0)$,
$T(0)(1-\frac{1}{6})=1$,
$T(0)=\frac{6}{5}$.

[ghira]

c) Calcolare la probabilità che la sfida venga vinta da Albino.

B vince le singole partite con probabilità $1/2$ e B con probabilità $1/3$. $3/5$ delle volte che usciamo dallo stato 0, vince A. La nostra risposta è $3/5$.

Se preferiamo:

Usiamo 3 stati. 0, lo stato iniziale. A, lo stato in cui A ha vinto. B, lo stato in cui B ha vinto.

La probabilità $H(i)$ di finire nello stato "vince A" partendo dallo stato $i$ è:
$H(A)=1$ (siamo già lì).
$H(B)=0$ (ha vinto B)
$H(0)=1/2 H(A)+1/3 H(B)+1/6 H(0)$
$H(0)=1/2+1/6 H(0)$
$H(0)(1-1/6)=1/2$
$H(0)=6/5 * 1/2 = 3/5$