Fubini come corollario di Tonelli

[andreadel1988]

Sia $f:RR^(n+m):->[-infty,+infty]$ una funzione sommabile, definiamo $f_+=max{f,0}$ e $f_(-)=max{0,-f}$. Abbiamo che $f_+,f_->=0$ e sono misurabili (può andar bene dire che lo sono poichè sia $f$ che $abs(f)$ sono misurabili poiche $f$ è sommabile?), allora possiamo applicare il teorema di riduzione di tonelli su $f_+$ e $f_-$ e si ha $\int_{RR^(n+m)}f_+dxdy=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_+dy)dx$ e $\int_{RR^(n+m)}f_(-)dxdy=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_(-) dy)dx$ (con la notazione che $dL^n=dx$ e $dL^m=dy$). Abbiamo che $abs(f)=f_++f_(-)$ per cui $\int_{RR^(n+m)}abs(f)dxdy= \int_{RR^(n+m)}(f_++f_(-))dxdy=\int_{RR^(n+m)}f_++\int_{RR^(n+m)}f_(-)dxdy>=\int_{RR^(n+m)}f_+>=0$ ( ho usato la linearità dato che non si hanno forme indeterminate $infty-infty$ poichè tutti gli addendi sono positivi e ho usato due volte la monotonia dell'integrale) e faccio lo stesso con $\int_{RR^(n+m)}abs(f)dxdy>=\int_{RR^(n+m)}f_(-)dxdy>=0$, ma siccome $f$ è sommabile allora $\int_{RR^(n+m)}abs(f)dxdyinRR$ e quindi $\int_{RR^(n+m)}f_+dxdy,\int_{RR^(n+m)}f_(-)dxdyinRR$, ma allora siccome $f=f_+ -f_(-)$ si ha $\int_{RR^(n+m)}fdxdy=\int_{RR^(n+m)}(f_+ -f_(-))dxdy=\int_{RR^(n+m)}f_+dxdy-\int_{RR^(n+m)}f_(-)dxdy=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_+dy)dx-\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_(-) dy)dx$
(qui ho usato la linearità poiche $\int_{RR^(n+m)}f_+dxdy$ e $\int_{RR^(n+m)}f_(-)dxdy$ sono numeri in $RR$ e quindi non si hanno forme indeterminate $infty-infty$), ora mi basta provare che $\int_{RR^m}f_+dy-\int_{RR^m}f_(-) dy$ non sia una forma indeterminata $infty-infty$, ma siccome per il teorema di riduzione di Tonelli $\int_{RR^(n+m)}abs(f)dxdy=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}abs(f)dy)dx$ è questo è un numero in $RR$ (poichè $f$ è sommabile) allora si ha che $\int_{RR^m}abs(f)dy$ è un numero reale quasi-dappertutto (ovvero tranne in un insieme di misura nulla), ma allora $abs(f)$ è sommabile, da cui riottengo $\int_{RR^(m)}abs(f)dy>=\int_{RR^(m)}f_+dy>=0$ e $\int_{RR^(m)}abs(f)dy>=\int_{RR^(m)}f_(-)dy>=0$, per cui $\int_{RR^(m)}f_+dy,\int_{RR^(m)}f_(-)dyinRR$, ma allora $\int_{RR^m}f_+dy-\int_{RR^m}f_(-) dy$ non è una forma indeterminata $infty-infty$, per cui posso applicare linearità e viene $\int_{RR^(n+m)}fdxdy=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_+dy)dx-\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_(-) dy)dx=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}f_+ dy-\int_{RR^m}f_(-) dy)dx=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}(f_+ -f_(-))dy)dx=\int_{RR^n}(\int_{RR^m}fdy)dx$.

Potrei aver fatto degli errori data la tecnicità della dimostrazione, ditemi se può andar bene opprue c e qualcosa di sbagliato, grazie.