Dubbio integrale doppio semplice

[Silver18021]

Buongiorno a tutti, mi sto da poco approcciando al calcolo di integrali doppi ma ho un dubbio nell'affrontare un esercizio apparentemente semplice.
Devo calcolare \( \int_\Omega \frac{y}{1+xy}\ \text{d} x \text{d} y \text{ }\Omega=[0,1]\text{x}[0,1] \)

Il calcolo dell'integrale indefinito in se non mi crea (troppi) problemi ma se applico gli estremi di integrazione non so come fare, perche secondo i miei calcoli ottengo un ln(0)...

Devo applicare il teorema che afferma che se un insieme è misurabile la misura della sua frontiera è zero? Come?

Grazie a chi saprà aiutarmi

[pilloeffe]

Ciao Silver18021,

Benvenuto sul forum!

Se non ho fatto male i conti mi risulta

$\int_\Omega \frac{y}{1+xy}\text{d}x \text{d}y = ln(4) - 1 $

Dov'è che trovi problemi?

Anche così:

$\int_\Omega \frac{y}{1+xy}\text{d}x \text{d}y = \int_0^1 \int_0^1 [- 1/x \sum_{n = 0}^{+\infty} (-xy)^{n + 1}] \text{d}x \text{d}y = \sum_{n = 0}^{+\infty} (- 1)^n \int_0^1 x^{n}[\int_0^1 y^{n + 1}\text{d}y] \text{d}x = $
$ = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n/(n + 2) \int_0^1 x^n \text{d}x = \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n/((n + 1)(n + 2)) = ln(4) - 1 $