Equazione differenziale domanda

[ripositore]

Ciao,

avrei una domanda stupida probabilmente dato che non studio fisica o matematica, però mi desta curiosità.

Se ho una equazione differenziale del tipo: $(dy)/(dx)=f(x,y)$ essa mi pare che in generale non sia risolvibile giusto? (questa era la domanda dell'esercizio).

Mi è però sorta una seconda domanda oltre a quella sopra che vi chiedevo ed è la seguente:
se scrivo $(dy)/(dx)$ vuol dire che implicitamente penso a una $y(x)$, anche perché se non lo fosse avrei $(dy)/(dx)=0$ e quindi $f(x,y)=0$, cioè in modo semplice la f sarebbe la funzione nulla.

Sia quindi $y(x)$, a questo punto ecco che i si pone davanti un dubbio: quello che ottengo è $(dy)/(dx)=f(x,y(x))$ quindi mi pare sensato che f si riduca a una sola funzione di x in fin dei conti, quindi avrei $(dy)/(dx)=f(x)$ e a questo punto senza andare a interpellare la separazione di variabili non sarebbe più semplicemente risolubile dicendo f(x) è la funzione pari a quella derivata a sx. That's it

Mi sembra troppo idiota come cosa, quindi devo capire cosa sbaglio

[pilloeffe]

Ciao ripositore,

quindi devo capire cosa sbaglio

Sbagli il concetto di base: la funzione $f = f(x, y(x)) $ è assegnata (nota), la funzione $y = y(x) $ devi trovarla...
Facciamo un esempio:

$y'(x) = x^2 y(x) $

Chiaramente questa equazione differenziale si può scrivere nella forma seguente:

$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = f(x, y(x)) $

ove $ f(x, y(x)) := x^2 \cdot y(x) $

A questo punto separando le variabili (supponendo chiaramente $y \ne 0 $: nota che la soluzione costante $y(x) = 0 $ è soluzione dell'equazione differenziale, la soluzione spesso chiamata banale) si ha:

$(y')/y = x^2 $

Quest'ultima integrata porge la soluzione $y(x) = c e^{x^3/3} $ ove $c$ è una costante che si determina in base alle condizioni iniziali (se ci sono). Nel caso in cui $c = 0 $ si ottiene nuovamente la soluzione banale $y(x) = 0$ già menzionata.
Per verificare la correttezza della soluzione $y(x) $ ottenuta basta derivarla, sostituire $y'(x) $ e $y(x) $ nell'equazione differenziale iniziale ed osservare che si ottiene un'identità:

$y'(x) = c x^2 e^{x^3/3} = x^2 \cdot c e^{x^3/3} $

Vero. \( \displaystyle \Box \)

[ripositore]

Grazie^^

Ah certo che scemo ho invertito l'incognita con la funzione nota. Potevo farmi un esempietto per capirlo, invece il ragionamento generale mi ha portato fuori strada.

Per il resto direi che è risolvibile se e solo se è separabile con funzioni integrabili giusto? Mi chiedo cioè: se mi vengono date delle f(x,y) che non diventano una moltiplicazione di funzioni integrabili in x e y magari però c'è un altro metodo risolutivo che permette comunque di trovare l'integrale generale (non più per separazione quindi ma per altra via). E' questa cosa che non mi lascia convinto, se fallisce la separazione di variabili magari c'è comunque un altro metodo che la risolve no?

Domanda bonus, consideriamo un esercizio differente.

per ipotesi mi si dice che "y non è funzione di x, e supponiamo f(x,y) non nota. quali f(x,y) possono essere date in tale situazione?" mi pare che in quel caso la f(x,y) che possono darmi è unicamente f(x,y)=0. Cioè mi ridurrei per forza di cose ad avere dy/dx=0, e qindi deduco anche che y=cost. giusto?

[Mephlip]

Per il resto direi che è risolvibile se e solo se è separabile con funzioni integrabili giusto?

No; proprio come congetturi poco dopo la parte che ho citato, effettivamente ci sono altri metodi per risolvere alcune equazioni differenziali che non coinvolgono la "separazione di variabili". Il punto è che, nel tuo discorso, non è ben chiaro che significhi "risolvibile": in che senso? Nel senso che esiste una soluzione o nel senso che le soluzioni, se esistono, sono esprimibili con funzioni elementari? È lo stesso problema dell'integrazione: la funzione \(x\mapsto e^{-x^2}\) è integrabile su ogni compatto di \(\mathbb{R}\) perché è ivi continua; quindi, il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce che su ogni compatto il suo integrale definito si può calcolare tramite una sua primitiva valutata negli estremi dell'intervallo suddetto. Ma un altro teorema afferma che tale primitiva non si può esprimere con funzioni elementari, quindi si suol dire che "\(e^{x^2}\) non è elementarmente integrabile" (o locuzioni simili). Quindi, bisognerebbe chiarire che significa "non risolvibile" secondo il tuo docente; alcuni teoremi ti assicurano l'esistenza di una soluzione, ma non ti assicurano che ci sia un modo per determinarla esplicitamente. Invece, in altri casi una soluzione non esiste proprio.

mi ridurrei per forza di cose ad avere dy/dx=0, e qindi deduco anche che y=cost. giusto?

Questo, in generale, non è vero. Considera la funzione $\varphi:\mathbb{R}\setminus\{0\} \to \mathbb{R}$ definita ponendo:\[
\varphi(x)=\begin{cases}-1, && \text{se} \ x < 0 \\ 1, && \text{se} \ x > 0\end{cases}
\]Essa è derivabile su \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) con derivata identicamente nulla su \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), ma \(\varphi\) non è costante su \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) essendo, ad esempio, \(\varphi(-1)=-1 \ne 1= \varphi (1)\). Il teorema che citi necessita di un'ipotesi in più: il dominio della funzione deve essere un intervallo (infatti, non a caso \(\varphi\) è costante su ogni intervallo contenuto in \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) perché, avendo derivata nulla su \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\), in particolare ha derivata nulla su ogni intervallo contenuto in \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)).

Se vuoi rispondere: cosa studi?

[gugo82]

Se ho una equazione differenziale del tipo: $(dy)/(dx)=f(x,y)$ essa mi pare che in generale non sia risolvibile giusto? (questa era la domanda dell'esercizio).

Il punto non è cosa studi o quanto tu ne sappia; bensì, che la domanda ha poco senso se non chiarisci il significato di "essere risolvibile".

"Essere risolvibile" può voler dire tante cose:

• dimostrare solo l'esistenza di una soluzione,
  
  
• dimostrare l'esistenza e l'unicità della soluzione,
  
  
• calcolare un'espressione esplicita della soluzione (casomai per mezzo di funzioni elementari).

Quindi, secondo te, cosa voleva chiederti davvero l'estensore del test?

[ripositore]

@Mephlip @gugo82 sulla risolvibilità: mi sono in realtà chiesto le stesse cose, nel senso che so che potrebbero esistere alle volte soluzioni di qualcosa che non sia però esprimibile come funzioni elementari¹. Non avevo, invece, pensato all'unicità (ammetto).

Per questo mi piacerebbe chiedervi, per curiosità di analizzare i vari casi, quindi:
per una eq. differenziale data in quella forma mi chiedo se:

- esistono casi di f(x,y) che pur non dando vita a una eq. differenziale in forma lineare (ad es se ho $dy/dx=f(x,y)=y$ non è solo a variabili separabili ma anche lineare e risolvibile) o a variabili separabili sia comunque risolvibile con almeno una soluzione esprimibile con una funzione elementare?
In poche parole, mi chiedo, se ho una f(x,y) che mi dà una eq. non a variabili separabili o lineare ci sono casi in cui sia risolvibile con altri metodi e ci dà comunque (almeno) una soluzione espressa con funzioni elementari?

- come dimostro esistenza e unicità (o non esistenza o esistenza ma non unicità) per una equazione di questa forma? Non avrei idea di come fare. (come dice gugo)

- dimostrare anche solo l'esistenza di una soluzione? (come dice gugo)

- infine: esistono soluzioni che non siano espresse in funzioni elementari ma che sia comunque soluzione? (e questi sono solo casi per cui non è a variabili separabili? Oppure ci sono casi di soluzioni di questo tipo anche quando è avariabii separabili?) come si ragiona per trovare esempi del genere sono bloccato

Insomma mi sono sorte moltissime domande da questo stupido esercizio e vorrei capire spero possiate aiutarmi.

*****************

@(solo) Mephlip -sulla seconda parte del suo messaggio-: che stupido, hai ragione, non ci ero arrivato ma effettivamente ci sono funzioni (dignitosissime) per cui la mia intuizione non funzionava. Ci sono cascato come un asino.
In sostanza è vera la cosa che dicevo che f(x,y) che può essere data è solo quella identicamente NULLA. Tuttavia è altresì vero che in generale non posso dedurre che y=costante. A meno che non aggiunga una ipotesi: che la y è definita su un intervallo.
Così dovrebbe andare.

PS: chimica.

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Note

1. il prof penso intendesse solo soluzioni elementari, ma vorrei andare oltre e capire di più e vi pongo altre domande ↑

[pilloeffe]

Forse qualcuno ti risponderà, ma tieni presente che in un post su un forum non è che ti si può scrivere tutta la teoria delle Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO in italiano o ODE in inglese) sulla quale sono stati scritti diversi libri...
Potresti cominciare col dare un'occhiata qui e, soprattutto per la bibliografia più ricca, alla versione in inglese qui.

Insomma mi sono sorte moltissime domande da questo stupido esercizio

Ecco, se magari riporti lo "stupido esercizio" che hai menzionato ragioniamo su qualcosa di concreto...

[ripositore]

No, certo ma non chiedevo quello. Chiedevo degli spunti sulle domande indicate con "-" qui sopra che sono sorte per le risposte degli utenti.

Credo le domande più lunghe e "teoriche" siano la seconda e la terza, per cui chiedevo degli spunti o anche solo letture pdf a riguardo. Per la 1 e 4 invece credo la risposta sia più breve dato che si parla di un caso specifico che richiedevo e mi incuriosiva

Lo stupido esercizio è quello iniziale. Ha fatto sorgere quelle domande che ponevo al variare delle f(x,y) possibili.

Grazie!

[gugo82]

- esistono casi di f(x,y) che pur non dando vita a una eq. differenziale in forma lineare (ad es se ho $dy/dx=f(x,y)=y$ non è solo a variabili separabili ma anche lineare e risolvibile) o a variabili separabili sia comunque risolvibile con almeno una soluzione esprimibile con una funzione elementare?
In poche parole, mi chiedo, se ho una f(x,y) che mi dà una eq. non a variabili separabili o lineare ci sono casi in cui sia risolvibile con altri metodi e ci dà comunque (almeno) una soluzione espressa con funzioni elementari?

Non c'è bisogno di andare lontano... Questa equazione differenziale:
\[
y^\prime (x) = e^{-x^2}
\]
è linearissima e del primo ordine, ma la soluzione non è una funzione elementare (questo è un fatto noto da Analisi I: esistono funzioni che non hanno primitive esprimibili elementarmente).

- come dimostro esistenza e unicità (o non esistenza o esistenza ma non unicità) per una equazione di questa forma? Non avrei idea di come fare. (come dice gugo)

Questo è il teorema sulle EDO, quello che ci sono voluti anni per dimostrare. Si studia in Analisi II (o Sistemi Dinamici) nella versione più classica ed in altri corsi superiori in versioni più complicate.
L'idea è che una EDO in forma normale del tipo:
\[
y^\prime (x) = f\big( x, y(x) \big)
\]
ha:

• almeno una soluzione il cui grafico passa per un punto $(x_0,y_0)$ interno al dominio $\Omega$ del secondo membro $f(x,y)$ se la funzione $f(x,y)$ è (come funzione di due variabili) continua in $\Omega$ (o, almeno, intorno a $(x_0,y_0)$);
  
  
• un'unica soluzione il cui grafico passa per un punto $(x_0,y_0)$ interno al dominio $\Omega$ del secondo membro $f(x,y)$ se la funzione $f(x,y)$ soddisfa l'ipotesi precedente ed in più soddisfa qualche condizione più forte¹ (anche rispetto alla sola variabile $y$).

Le dimostrazioni le trovi su testi di Analisi II o più avanzati.

- dimostrare anche solo l'esistenza di una soluzione? (come dice gugo)

Ho risposto sopra.
Tuttavia, nei casi semplici, tieni presente che vale il classico:

Teorema di Esistenza dell'Ingegnere: Se so calcolare la soluzione un problema, la soluzione esiste.

- infine: esistono soluzioni che non siano espresse in funzioni elementari ma che sia comunque soluzione? (e questi sono solo casi per cui non è a variabili separabili? Oppure ci sono casi di soluzioni di questo tipo anche quando è a variabili separabili?) come si ragiona per trovare esempi del genere sono bloccato

Ho risposto sopra: anche se ti limiti a semplicissime EDO come quelle del tipo "ricerca delle primitive", i.e. del tipo $y^\prime (x) = f(x)$, ci sono casi in cui le soluzioni non sono esprimibili elementarmente.

---

Note

1. Ad esempio, funzione di classe $C^1$ in $Omega$ oppure una condizione di Lipschitz. ↑

[ripositore]

Grazie.

Quindi la domanda del prof era un po' mal posta (credo volesse semplificarla a non matematici ma mi abbia solo confuso di più).

La richiesta era: $dy/dx=f(x,y)$ è risolvibile in generale?
Messa così credo volesse dire "assunta f(x,y(x)) è risolvibile in generale come funzione data per funzioni elementari e valida per ogni $x in RR$"?

Ora, cercando risposte avevo trovato il teorema di esistenza e unicità per un problema di cauchy, ma questo teorema non faceva al caso mio perché dimostrava l'esistenza di almeno una soluzione data f continua ma con una condizione iniziale e trovava un intorno per cui c'era effettivamente una soluzione. Mentre io volevo il caso senza condizione iniziale, inoltre volevo $x in R$, quindi soluzioni y che fossero funzioni su tutto R. E mi pare quel teorema non mi dia risposte a questo quesito.

Dal teorema che mi riporti mi pare che sia sempre possibile trovare (almeno) una soluzione y per quel tipo di equazioni a patto che f sia continua. Quindi messa così la soluzione c'è sempre per f continue.
Però questo teorema che mi citi mi pare proprio quello per un problema di cauchy e quindi mi garantisce che una soluzione esiste ma non per $x in R$, ma solo su intervalli di R. Io invece cercavo una risposta a quella domanda per x in R. (prima domanda sul thm)
Oltre a questo volevo chiederti (seconda domanda sul thm) dal teorema non possiamo concludere molto su f non continua e mi chiedo quindi: se f non è continua potrei avere comunque soluzione (anche non in forma elementare) in certi casi con x che si estende in tutto R? Oppure se non è continua non ho mai soluzione (non so se esista un altro teorema per questo)

Ciò detto -se non ho detto cacchiate - volevo solo chiarire altri punti; tuo tempo e voglia permettendo:

°)

$y′(x)=e^-(x^2)$

mi proponevi questa, però questo è un esempio di equazione lineare.
La mia domanda era leggermente differente, provo a esprimerla meglio: se ho una f(x,y) che mi dà una eq. non a variabili separabili (quindi non si può scrivere come $d(x)*l(y)$) e non lineare; mi chiedo: ci sono casi in cui data una f del genere comunque l'equazione sia risolvibile con altri metodi e ci dà comunque (almeno) una soluzione espressa con funzioni elementari e con $x in R$?
Non mi vengono esempi in mente.
per questo ipotizzo: vale forse qualcosa tipo, se non è a variabili separabili e lineare => la funzione soluzione non è sicuramente elementare? oppure potrebbe essere che non esiste mai proprio? o forse è elementare e non vale per x in tutto R? (una di queste?)

°) mi sembra chiaro dal tuo esempio che non posso asserire se eq. è lineare => la soluzione è esprimibile con funzioni elementari.
Tuttavia mi chiedo, se ho una equazione a variabili separabili ottengo sempre una soluzione esprimibile con funzioni elementari e che sia soluzione per ogni x in R? oppure ci sono casi in cui pur essendo esprimibile a variabili separabili ha soluzione:
- non elementare
- oppure una soluzione elementare che non vale per ogni x in R?
(mi pare di no)