Serie numeriche(criterio di Leibniz, telescopica, rapporto))

[Quasar3.14]

Ciao a tutti,

potreste aiutarmi, per favore, a capire dove sbaglio e come procedere con questi quattro esercizi?

Primo esercizio.
$\sum_{n=1}^{+\infty} (n!n^3)/n^n$
È una serie a termini positivi.
Essendoci un fattoriale provo a studiarla utilizzando il criterio del rapporto.
$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)(n)!(n+1)^3)/((n+1)(n+1)^n) * n^n / (n!n^3)$
$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)/n)^3 * ((n+1)/n)^n$
$ \lim_{n \to +\infty} (1+1/n)^3 * (1+1/n)^n = \lim_{n \to +\infty} (n!n^3)/n^n=1$
Il criterio del rapporto non consente di determinare il carattere della serie.
In questi casi poi come si procede? C’è un altro modo per determinare il carattere della serie oppure l’esercizio è concluso?

Seconda esercizio.
$\sum_{n=1}^{+\infty} sqrt(n)-sqrt(n-1)$
Procedo con la razionalizzazione inversa e calcolo il limite.
$ \lim_{n \to +\infty} sqrt(n)-sqrt(n-1) = \lim_{n \to +\infty} 1/ (sqrt(n)-sqrt(n+1)) $
Il limite è infinitesimo, quindi è rispettata la condizione necessaria di Cauchy affinchè una serie converga.
Il denominatore mi ricorda la serie telescopica $\sum_{n=1}^{+\infty} (a_n – a_(n+k)) $.
Se il mio ragionamento fosse corretto la serie dovrebbe convergere.
Purtroppo, sto commettendo un errore, in quanto, da risultato dell’esercizio, la serie diverge.
Cosa sbaglio?

Terzo esercizio
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (cos^2 (1/n)) / n $
La mia idea era quella di applicare il criterio di Leibniz in quanto è una serie a segni alterni, per la presenza di $(-1)^n$, e inoltre $(cos^2 (1/n)) / n >=0$
Per far ciò, controllo se il limite della successione è infinitesimo.
$ \lim_{n \to +\infty} (cos^2 (1/n)) / n $
Non esistendo al numeratore il limite di $cos^2 (1/n)$ in quanto limitato ai valori $[0,1] $
$\lim_{n \to +\infty} (cos^2 (1/n)) / n = 0 $
$\lim_{n \to +\infty} cos^2 (1/n) ~ lim_{n \to +\infty} 1/n $

Ora poiche $n+1>n$ allora $1/(n+1) < 1/n $ quindi $b_(n+1)<=b_n$ e per il teorema di Leibniz la serie $\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (cos^2 1/n) / n $ è convergente.
È corretto?

Infine il quarto e ultimo esercizio è il seguente.
$\sum_{n=1}^{+\infty} (n^n/(2^n*n!))^n $
Il problema principale che ho incotrato è l'esponente.
Non applico il teorema della radice in quanto mi ritroverei comunque con un fattoriale al denominatore.
L’approccio che ho adottato è quello innanzitutto di stabilire il carattere della serie presente tra le due parentesi, quindi di $n^n/(2^n*n!)^$
Per farlo, applico il criterio del rapporto.

$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)^n(n+1))/(2*2^n *(n+1)(n)!)/ ((n^n)/(2^n*n!)) = \lim_{n \to +\infty} 1/2 * ((n+1)/n)^n = \lim_{n \to +\infty}1/2 (1+ 1/n)^n = e/2$
$ e/2 >1$
Ora se non ci fosse $n$ come esponente potrei concludere che la serie diverge, ma poiché l’esponente c’è come devo continuare?
Il limite della serie, come visto, non è infinitesimo quindi la condizione di Cauchy non sarebbe comunque rispettata. Inoltre al denominatore ho $n^n$ che tra gli ordini di infinito è quello che diverge più velocemente. Nonostante queste considerazioni, come detto, mi manca il passo successivo per concludere l'esercizio.

Grazie a tutti per l’aiuto.

[Quinzio]

$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)(n)!(n+1)^3)/((n+1)(n+1)^n) * n^n / (n!n^3)$
$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)/n)^3 * ((n+1)/n)^n$
$ \lim_{n \to +\infty} (1+1/n)^3 * (1+1/n)^n = \lim_{n \to +\infty} (n!n^3)/n^n=1$

$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)(n)!(n+1)^3)/((n+1)(n+1)^n) * n^n / (n!n^3) = $

$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)/n)^3 / ((n+1)/n)^n = $

$ \root{n} {e^3} / e $

[pilloeffe]

Ciao Quasar3.14,

C’è un altro modo per determinare il carattere della serie oppure l’esercizio è concluso?

La serie proposta è convergente. Hai applicato male il Criterio del rapporto: dovrebbe risultarti $1/e < 1 $

$ \sum_{n=1}^{+\infty} \sqrt(n)-\sqrt(n-1) $

Qui invece hai sbagliato la "razionalizzazione inversa" perché si ha:

$\sum_{n=1}^{+\infty} (\sqrt(n)-\sqrt(n-1)) = \sum_{n=1}^{+\infty} 1/(\sqrt(n)+\sqrt(n-1)) \le 1 + \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(\sqrt(n - 1)+\sqrt(n - 1)) = $
$ = 1 + \sum_{n=2}^{+\infty} 1/(2\sqrt(n - 1)) = 1 + 1/2 \sum_{m=1}^{+\infty} 1/(m^{1/2})$

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 1/2 < 1 $, positivamente divergente.

Terzo esercizio

La conclusione è corretta perché in effetti la serie proposta è convergente (ad un valore leggermente negativo) i ragionamenti per arrivarci no...

Osserverei che si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (cos^2 (1/n))/n = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n (1 - [1 - cos^2 (1/n)])/n = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n 1/n - \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n (1 - cos^2 (1/n))/n = $
$ = - ln2 - \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n (1 - cos^2 (1/n))/n = - [ln2 + \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n (1 - cos^2 (1/n))/n] $

Considerando che $\forall x \in \RR $ si ha $1 - cos^2 x \le x^2 $, posto $x := 1/n $ l'ultima serie scritta è assolutamente convergente e quindi convergente, infatti si ha:

$ \sum_{n=1}^{+\infty}(1 - cos^2 (1/n))/n \le \sum_{n=1}^{+\infty}1/n^3 $

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3 > 1 $, positivamente convergente.

Infine il quarto e ultimo esercizio è il seguente.
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n^n/(2^n * n!))^n $

Beh, qui posto $a_n := (n^n/(2^n \cdot n!))^n $ si ha $\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \ne 0 $ quindi non è soddisfatta la Condizione necessaria di convergenza di Cauchy ed essendo a termini positivi è necessariamente positivamente divergente.

[Quasar3.14]

Grazie per il vostro aiuto e le vostre spiegazioni.
Ho ancora però delle perplessità.
Per il primo esercizio mi sono effettivamente distratto trovandomi come risultato $e/e$ da li poi l'$1$ del primo post (mi ero perso il $3$ come esponente). Ho provato a svolgerlo nuovamente ma non sono sicuro della correttezza di alcuni passaggi.

$ \lim_{n \to +\infty} (( n+1)(n)!(n+1)^3)/((n+1)(n+1)^n) * n^n / (n!n^3) $

Ora non so come scrivere sul forum la semplificazione, ma in pratica semplifico $(n!)$ e $(n+1)$ ed ottengo

$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)^3)/((n+1)^n) * n^n / (n^3) $

Ora per ottenere $1/e$ ad occhio dovrei sbarazzarmi di $n^n$ al numeratore. Posso riscrivere in questo modo ?

$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)^3)/(n^n(1+1/n)^n) * n^n / (n^3) $

In questo modo ottengo

$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)/(n))^3 * 1/(1+1/n)^n$

Ora $\lim_{n \to +\infty} ((n+1)/(n))^3 = 1$ e $\lim_{n \to +\infty} 1/(1+1/n)^n = 1/e$

Il dubbio a questo punto è tutto nella semplificazione di $n^n$.

Per il terzo esercizio non mi è chiaro come si è passati da $ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n 1/n $ a $ = - ln2 - \sum_{n=1}^{+\infty} $

È un passaggio in cui non mi ero mai imbattuto durante le mie esercitazioni. Per le serie a segni alterni avevo sempre utilizzato il criterio di Leibniz.

Per il quarto esercizio, è quindi sufficiente dimostrare che il limite di $a_n$ senza esponente, quindi $\lim_{n \to +\infty} n^n/(2^n*n!)$ non è infinitesimo, per rendere di conseguenza anche $\lim_{n \to +\infty} (n^n/(2^n*n!))^n $ non infinitesimo?
Nel primo post, l'ho fatto ed infatti, come hai scritto, il limite non rispetta il criterio di Cauchy, ma sono riuscito a dimostrarlo solo $\lim_{n \to +\infty} n^n/(2^n*n!)$, è sufficiente?

Ringrazio nuovamente per l'aiuto che mi stai dando!

[gugo82]

Scusate, ma tutto quel casino inutile sulla seconda serie?

Osserva bene: la serie $sum sqrt(n) - sqrt(n-1)$ è telescopica, non c'è nessun bisogno di fare calcoli di alcun tipo per stabilire che diverge.
Vedi qui, §1.2 pag. 4.

[pilloeffe]

Il dubbio a questo punto è tutto nella semplificazione di $n^n$

Non capisco che dubbio hai: come ti dicevo risulta $1/e < 1 $ che è ciò che risulta anche a te...

Per il terzo esercizio non mi è chiaro come si è passati da $ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n 1/n $ a $ - ln2 - \sum_{n=1}^{+\infty} $

Beh è una serie piuttosto famosa che dovresti riconoscere:

$ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n + 1} x^n/n = - \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n} x^n/n \implies \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n} x^n/n = - ln(1 + x) $

per $ - 1 < x \le 1 $; quindi nel caso particolare $x = 1 $ si ottiene proprio ciò che è stato scritto:

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n} 1/n = - ln2 $

Per le serie a segni alterni avevo sempre utilizzato il criterio di Leibniz.

Il criterio di Leibniz è un'ottima freccia al nostro arco, ma non per questo dobbiamo rinunciare alle altre...

Per il quarto esercizio, è quindi sufficiente dimostrare che il limite di $a_n$ senza esponente, [...]

No attenzione, per come l'ho definito $a_n $ è con l'esponente $n$: nota però che se lo togli è come se avessi applicato il Criterio della radice, quindi ti basta far vedere che $ \lim_{n \to +\infty} n^n/(2^n \cdot n!) = l > 1 $ ed in effetti si trova $ \lim_{n \to +\infty} n^n/(2^n \cdot n!) = +\infty $

Ringrazio nuovamente per l'aiuto che mi stai dando!

Prego!

[Quasar3.14]

Non capisco che dubbio hai: come ti dicevo risulta $1/e < 1 $ che è ciò che risulta anche a te...

Il dubbio nasce dal fatto se sia corretto riscrivere e quindi semplificare $n^n$ in questo modo
$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)^3)/(n^n(1+1/n)^n) * n^n / (n^3) $

No attenzione, per come l'ho definito $ a_n $ è con l'esponente $ n $: nota però che se lo togli è come se avessi applicato il Criterio della radice, quindi ti basta far vedere che $ \lim_{n \to +\infty} n^n/(2^n \cdot n!) = l > 1 $ ed in effetti si trova $ \lim_{n \to +\infty} n^n/(2^n \cdot n!) = +\infty $

Perdonami pilloeffe, ma mica posso applicare due criteri sulla stessa serie?
Non posso applicare il criterio della radice e poi dopo applicare il criterio del rapporto, da qui nasce la mia confusione.

Scusate, ma tutto quel casino inutile sulla seconda serie?

Osserva bene: la serie $ sum sqrt(n) - sqrt(n-1) $ è telescopica, non c'è nessun bisogno di fare calcoli di alcun tipo per stabilire che diverge.
Vedi qui, §1.2 pag. 4.

Prima che pilloeffe mi facesse notare il mio errore di calcolo, anche io avevo pensato alla serie telescopica, da qui anche il titolo del topic. Ma la serie telescopia non si presenta nella forma $ sum sqrt(n) - sqrt(n+1) $ in quella postata c'è una differenza invece della somma.
Grazie per il link sui complementi sulle serie numeriche.

[Mephlip]

@Quasar3.14:

Il dubbio nasce dal fatto se sia corretto riscrivere e quindi semplificare $n^n$ in questo modo
$ \lim_{n \to +\infty} ((n+1)^3)/(n^n(1+1/n)^n) * n^n / (n^3) $

La semplificazione è corretta. Dato che \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\), puoi dividere per \(n\) e quindi:\[
\left(n+1\right)^n=\left(n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right)^n=n^n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
\]

Ma la serie telescopia non si presenta nella forma $ sum sqrt(n) - sqrt(n+1) $ in quella postata c'è una differenza invece della somma.

Per ogni \(k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\), è:\[
\sum_{n=1}^k \left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)=(\sqrt{1}-\sqrt{0})+(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\dots+(\sqrt{k}-\sqrt{k-1})=\sqrt{k}
\]In pratica, più che attenerti ciecamente al formalismo, ti consiglio di capire l'idea di serie telescopica: stai sommando una successione i cui termini sono del tipo "successivo meno precedente". Posto \(a_k=\sqrt{k}\) per ogni \(k\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\), hai che \(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=a_n-a_{n-1}\).

[Quasar3.14]

Grazie a tutti per l'aiuto!

Il forum si sta rivelando una miniera di topic interessanti, ho scoperto diverse vecchie discussioni in questo periodo che si sono dimostrate utilissime per il mio studio.

@mephlip, ti ringrazio della spiegazione sulla serie telescopica, adesso è chiara.

Mi rimane però ancora un dubbio riguardante il quarto esercizio su cui purtroppo sono ancora bloccato.

$ \sum_{n=1}^{+\infty} (n^n/(2^n*n!))^n $

Come mi è stato suggerito nei precedenti post devo controllare se viene rispettata o meno la condizione necessaria di convergenza di Cauchy.

Per farlo devo svolgere il seguente limite:

$ \lim_{n \to +\infty}(n^n/(2^n*n!))^n $

Se non fosse tutto elevato ad $n$ saprei risolvere.

$ \lim_{n \to +\infty} (((n+1)^n(n+1))/(2*2^n *(n+1)(n)!))/ ((n^n)/(2^n*n!)) = \lim_{n \to +\infty} 1/2 * ((n+1)/n)^n = \lim_{n \to +\infty}1/2 (1+ 1/n)^n = e/2 $

Non credo che sia possibile, per svolgere un limite, applicare prima il criterio della radice e poi quello del rapporto.
Da qui la difficolta nel dimostrare che $ \lim_{n \to +\infty}(n^n/(2^n*n!))^n = +infty $

In questi casi come devo procedere?

Grazie ancora!!

[Mephlip]

Prego!

devo controllare se viene rispettata o meno la condizione necessaria di convergenza di Cauchy

No, non "devi" fare nulla in particolare: non sei obbligato a farlo. Puoi semplicemente applicare il criterio della radice e dedurre che diverge. Ricorda che ogni teorema che conosci è uno strumento, e in quanto tale ci sono situazioni più o meno opportune in cui usare uno specifico teorema. A volte, è molto più complicato calcolare il limite della successione sotto il segno di serie anziché calcolare il limite della radice $n$-esima/rapporto, quindi si procede direttamente con il criterio (chiaramente, se i criteri sono inconcludenti si può considerare nuovamente l'idea di procedere con la condizione necessaria).

Hai dimostrato che \(n^n/(2^n n!) \to e/2\) per \(n\to+\infty\). Che significa ciò? Che la successione, da un certo indice in avanti, è arbitrariamente vicina a \(e/2\). Ma allora, essendo \(e/2>1\), ciò vuol dire che da un certo punto in avanti elevando alla \(n\) la tua successione è più grande di un numero strettamente maggiore di \(1\) elevato alla \(n\) (ad esempio, il punto medio del segmento di estremi \(1\) ed \(e/2\)). Quest'ultimo numero elevato alla \(n\), per \(n\to+\infty\), tende a \(+\infty\) e quindi per confronto ci tende anche \((n^n/(2^n n!))^n\).

Formalmente: dato che \(n^n/(2^n n!) \to e/2\) per \(n\to+\infty\), dalla definizione di limite usata con \(\varepsilon=(e/2+1)/2\) esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che \(n>N\) implica:\[
\frac{n^n}{2^n n!}>\frac{\frac{e}{2}+1}{2}>1
\]Quindi, per crescente monotonia della potenza a esponente naturale per basi non negative, \(n>N\) implica:\[
\left(\frac{n^n}{2^n n!}\right)^n>\left(\frac{\frac{e}{2}+1}{2}\right)^n
\]L'ultima successione tende a \(+\infty\) per \(n\to+\infty\), quindi ci tende anche quella a sinistra essendo maggiore.