Integrale convergente o divergente

[DanteOlivieri]

Ciao a tutti,
sto avendo molta difficoltà con esercizi che chiedono di dire se un certo integrale converge o diverge, specialmente quando si tratta di applicare criteri come il criterio del confronto asintotico

Con le serie me la cavavo piuttosto bene, ma con gli integrali non capisco cosa fare

Ecco un esempio:

$\int_{0}^{+oo} t^4/(t^7+3t+1) dt$

fosse stata ad esempio una serie avrei detto "è positiva, si comporta come $1/t^3$ che converge quindi anche lei converge", ma posso dire la stessa cosa con gli integrali?

inoltre, dopo aver visto diversi video mi sono reso conto che ci sono delle "funzioni campione" per i criteri di integrabilità, con cui confrontare la funzione facendo un limite di un rapporto per trovare i valori di $beta$ per cui l'integrale converge

- per intervalli limitati nell'integrale (ovvero dove non c'è infinito negli intervalli di integrazione)
$g(x) = 1/(x-a)^beta$
se $0 < beta < 1$ l'integrale converge
se $beta >= 1$ l'integrale non esiste finito (diverge)

- per intervalli illimitati nell'integrale
$g(x) = 1/x^beta$
se $beta > 1$ l'integrale converge
se $0 < beta <= 1$ l'integrale non esiste finito (diverge)

queste cose c'entrano qualcosa con esercizi che chiedono di stabilire se un integrale converge o diverge?

ho troppe cose confuse in testa in questo momento, probabilmente tutte sbagliate, spero che qualcuno possa aiutarmi, grazie in anticipo

[Mephlip]

Un paio di cose:

(i) Dato che \(\beta>0\) devi considerare i moduli, ossia \(|x-a|^\beta\) e \(|x|^\beta\).

(ii) Quello che dici, riguardo alle funzioni campione e il limite di un rapporto, è esattamente il criterio del confronto asintotico: è proprio la stessa cosa che fai con le serie. Quindi, se ti è chiaro quello, ti dovrebbe essere chiaro anche con gli integrali impropri. La dimostrazione è identica. Tuttavia, c'è da dire che nel caso da te riportato, se si fa un confronto asintotico con \(1/t^3\) bisogna preventivamente escludere un intorno destro di \(0\) o altrimenti non puoi dedurre la convergenza.

ho troppe cose confuse in testa in questo momento, probabilmente tutte sbagliate, spero che qualcuno possa aiutarmi, grazie in anticipo

Un consiglio: lascia perdere i video, prendi un libro di testo e studia lì. Un buon riferimento è: "Pagani, Salsa - Analisi Matematica 1".

[DanteOlivieri]

Tuttavia, c'è da dire che nel caso da te riportato, se si fa un confronto asintotico con \(1/t^3\) bisogna preventivamente escludere un intorno destro di \(0\) o altrimenti non puoi dedurre la convergenza.

Ah, ha senso, ma come si fa in pratica?
oppure, c'è qualche altro modo per capire se converge o diverge?

[Quinzio]

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[DanteOlivieri]

Ma per $t→0$ la funzione integranda di partenza non fa 0?

A parte questo, dopo aver inviato il messaggio sopra ho pensato effettivamente a separarlo in 2 integrali, uno tra 0 e 1, l'altro tra 1 e +infinito, ma non sapevo come trattare quello tra 0 e 1

A quanto pare bastava fare un confronto...vabbè

Vi ringrazio per l'aiuto!

[Quinzio]

Si certo, avevo fatto i conti solo con $1/t^3$.
Basta un confronto.

[Mephlip]

$\int_{0}^{+oo} 1/t^3 dt = 2$

Quest'integrale diverge. Bisogna procedere ad esempio così:\[
\int_0^{+\infty} \frac{t^4}{t^7+3t+1}\text{d}t=\int_0^1 \frac{t^4}{t^7+3t+1}\text{d}t+\int_1^{+\infty} \frac{t^4}{t^7+3t+1}\text{d}t\]
\[
<\int_0^1 \frac{t^4}{t^7+3t+1}\text{d}t+\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^3}\text{d}t
\]

[gugo82]

@DanteOlivieri: Occhio che bisogna anche esser sicuri che la funzione integranda non abbia singolarità al finito... Ma ciò in questo caso è molto semplice.

[pilloeffe]

Ciao DanteOlivieri,

Volendo anche confrontandolo con un integrale ben noto, considerando che è tutto positivo o al più nullo:

$\int_0^{+\infty} t^4/(t^7+3t+1) \text{d}t < \int_0^{+\infty} 1/(t^2+1) \text{d}t = \pi/2 $