Vediamo di mettere ordine.
Innanzitutto, una questione di metodo... Per farmi capire meglio, passami una divagazione.
Supponiamo tu voglia costruire una casetta su un terreno e che ti rivolga ad un ingegnere edile per sapere se si può fare.
L'ingegnere ti mostra una carta e ti dice: "Guarda, questo sembra un buon terreno per costruire, ma in realtà non lo è perché ci sono problemi appena sotto la superficie".
Tu, guardandolo in faccia, gli diresti mai: "Ah, allora possiamo costruirla lì in fondo, sopra quello scomodissimo terreno paludoso?"
No, eh? Sembra completamente illogico, vero?
E non solo sembra: è illogico. Se un esperto ti dice che la casetta non la puoi costruire su un terreno che a te sembra "tranquillo", a maggior ragione non puoi costruirla su un terreno che a te (e non all'esperto) appare già disagevole e non adatto a sostenere alcunché.
Ecco, l'errore di metodo che commetti ponendo queste domande è lo stesso.
Se in un caso "tranquillo" le cose già non sono semplici come appaiono, perché chiedi se le cose sono semplici in casi (già per te) evidentemente più complicati?
Venendo alle domande in sé:
ripositore ha scritto:Quindi la domanda del prof era un po' mal posta (credo volesse semplificarla a non matematici ma mi abbia solo confuso di più).
La richiesta era: $ dy/dx=f(x,y) $ è risolvibile in generale?
Messa così credo volesse dire "assunta f(x,y(x)) è risolvibile in generale come funzione data per funzioni elementari e valida per ogni $ x in RR $"?
Anche qui c'è un problema di metodo.
"Credo" non significa nulla.
Non si studia per "credere", né "credendo"; si studia per sapere. Tu devi sapere, non "credere".
Per sapere, c'è bisogno di capire; quindi tu devi capire.
Quando non si capisce, si chiede. E si parla finché non si capisce.
Nel caso in esame, se vuoi sapere cosa volesse intendere il docente che ha posto la domanda, c'è una sola cosa che devi fare: chiedere al docente.
ripositore ha scritto:Ora, cercando risposte avevo trovato il teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy [...]
Infatti, quello è il teorema sulle EDO, cioè il teorema di riferimento.
ripositore ha scritto:[...] ma questo teorema non faceva al caso mio perché dimostrava l'esistenza di almeno una soluzione data f continua ma con una condizione iniziale e trovava un intorno per cui c'era effettivamente una soluzione.
In Analisi si studiano problemi locali (nelle vicinanze di qualche punto interessante, ossia lì "intorno"), per primi, poi problemi globali (in tutto l'insieme di definizione).
Non è una cosa strana che i risultati importanti siano dimostrati prima in versione locale, poi, se possibile, siano estesi a risultati globali.
ripositore ha scritto:[...] Mentre io volevo il caso senza condizione iniziale [...]
Questo è un errore di Matematica di base, molto comune tra l'altro (anche in studenti che hanno un background di liceo scientifico, ma che della Matematica vera non hanno capito i meccanismi fondamentali).
Domanda: che differenza c'è tra una soluzione arbitraria ed una soluzione che soddisfa una condizione del tutto arbitraria?
In altre parole, tu stai chiedendo: "Vorrei conoscere una qualsiasi soluzione".
Il matematico ti dice: "Se mi dai un qualsiasi punto, io ti so dire quale soluzione ci passa... Va bene così?"
E sì, va bene così.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ad esempio, considera l'equazione semplice:
\[
y^\prime (x) - y(x) = x
\]
che ha integrale generale $y(x) = Ce^x - x - 1$.
Se ci accoppi una condizione iniziale arbitraria $y(x_0) = y_0$ (ma, per quel che vogliamo fare andrebbe bene pure una cosa un po' più particolare tipo $y(0) = y_0$) ottieni il p.d.C.:
\[
\begin{cases} y^\prime (x) - y(x) = x \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}
\]
che si può risolvere anche senza sapere nulla dell'integrale generale: ad esempio, osserva che moltiplicando la EDO per $e^(-x)$ si ottiene il p.d.C. equivalente:
\[
\begin{cases} e^{-x} y^\prime (x) - e^{-x} y(x) = x e^{-x} \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}
\]
ed ora il primo membro è una derivata e la EDO si riscrive:
\[
\begin{cases} \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ e^{-x} y(x)\right] = x e^{-x} \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}\; ;
\]
ponendo $u(x) = e^{-x} y(x)$ si ottiene il p.d.C. ausiliario:
\[
\begin{cases} u^\prime (x) = x e^{-x} \\ u(x_0) = e^{-x_0} y_0 \end{cases}
\]
che si risolve integrando membro a membro sull'intervallo di estremi $x_0$ (fisso) ed $x$ (variabile):
\[
\begin{cases} \int_{x_0}^x u^\prime (t)\ \text{d} t = \int_{x_0}^x t e^{-t}\ \text{d} t \\ u(x_0) = e^{-x_0} y_0 \end{cases}\ \Leftrightarrow\ \begin{cases} u(x) - u(x_0) = -e^{-x}(x+1) + e^{-x_0}(x_0+1)\ \text{d} t \\ u(x_0) = e^{-x_0} y_0 \end{cases}\ \Leftrightarrow\ u(x) - e^{-x_0}y_0 = -e^{-x}(x+1) + e^{-x_0}(x_0+1)\ \Leftrightarrow\ u(x) = -e^{-x}(x+1) + e^{-x_0}(x_0 + 1 + y_0)\; ;
\]
possiamo calcolare la soluzione del p.d.C. iniziale semplicemente sostituendo $u(x) = e^(-x) y(x)$:
\[
e^{-x} y(x) = -e^{-x}(x+1) + e^{-x_0}(x_0 + 1 + y_0)\ \Leftirightarrow\ y(x) = -x-1 + e^x\cdot e^{-x_0}(x_0 + 1 + y_0)\; .
\]
Data l'arbitrarietà nella scelta del punto iniziale $(x_0,y_0)$, al variare del punto iniziale la quantità $e^{-x_0}(x_0 + 1 + y_0)$ assume tutti i valori reali, quindi essa si può considerare come un parametro arbitrario; sostituendo quella costante complicata con $C$, dalla formula precedente otteniamo quello che è l'integrale generale:
\[
y^\prime (x) = Ce^x - x - 1\; .
\]
\[
y^\prime (x) - y(x) = x
\]
che ha integrale generale $y(x) = Ce^x - x - 1$.
Se ci accoppi una condizione iniziale arbitraria $y(x_0) = y_0$ (ma, per quel che vogliamo fare andrebbe bene pure una cosa un po' più particolare tipo $y(0) = y_0$) ottieni il p.d.C.:
\[
\begin{cases} y^\prime (x) - y(x) = x \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}
\]
che si può risolvere anche senza sapere nulla dell'integrale generale: ad esempio, osserva che moltiplicando la EDO per $e^(-x)$ si ottiene il p.d.C. equivalente:
\[
\begin{cases} e^{-x} y^\prime (x) - e^{-x} y(x) = x e^{-x} \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}
\]
ed ora il primo membro è una derivata e la EDO si riscrive:
\[
\begin{cases} \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ e^{-x} y(x)\right] = x e^{-x} \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}\; ;
\]
ponendo $u(x) = e^{-x} y(x)$ si ottiene il p.d.C. ausiliario:
\[
\begin{cases} u^\prime (x) = x e^{-x} \\ u(x_0) = e^{-x_0} y_0 \end{cases}
\]
che si risolve integrando membro a membro sull'intervallo di estremi $x_0$ (fisso) ed $x$ (variabile):
\[
\begin{cases} \int_{x_0}^x u^\prime (t)\ \text{d} t = \int_{x_0}^x t e^{-t}\ \text{d} t \\ u(x_0) = e^{-x_0} y_0 \end{cases}\ \Leftrightarrow\ \begin{cases} u(x) - u(x_0) = -e^{-x}(x+1) + e^{-x_0}(x_0+1)\ \text{d} t \\ u(x_0) = e^{-x_0} y_0 \end{cases}\ \Leftrightarrow\ u(x) - e^{-x_0}y_0 = -e^{-x}(x+1) + e^{-x_0}(x_0+1)\ \Leftrightarrow\ u(x) = -e^{-x}(x+1) + e^{-x_0}(x_0 + 1 + y_0)\; ;
\]
possiamo calcolare la soluzione del p.d.C. iniziale semplicemente sostituendo $u(x) = e^(-x) y(x)$:
\[
e^{-x} y(x) = -e^{-x}(x+1) + e^{-x_0}(x_0 + 1 + y_0)\ \Leftirightarrow\ y(x) = -x-1 + e^x\cdot e^{-x_0}(x_0 + 1 + y_0)\; .
\]
Data l'arbitrarietà nella scelta del punto iniziale $(x_0,y_0)$, al variare del punto iniziale la quantità $e^{-x_0}(x_0 + 1 + y_0)$ assume tutti i valori reali, quindi essa si può considerare come un parametro arbitrario; sostituendo quella costante complicata con $C$, dalla formula precedente otteniamo quello che è l'integrale generale:
\[
y^\prime (x) = Ce^x - x - 1\; .
\]
ripositore ha scritto:[...] inoltre volevo $ x in R $, quindi soluzioni y che fossero funzioni su tutto R. E mi pare quel teorema non mi dia risposte a questo quesito.
E non te le può dare.
Per alcuni secondi membri, anche semplici e definiti ovunque in $RR^2$, ci sono problemi perché le soluzioni non sono mai definite su tutto $RR$ perché "esplodono" al finito (i.e., i loro grafici hanno asintoti verticali): ad esempio:
\[
y^\prime (x) = y^2(x)\; .
\]
Alcune condizioni sul secondo membro $f(x,y)$ ti garantiscono che le soluzioni "locali" del p.d.C. si possono effettivamente prolungare su tutto $RR$ (questo è il caso, ad esempio, delle EDO lineari a coefficienti continui in tutto $RR$), ma in generale non si può fare granché.
ripositore ha scritto:Oltre a questo volevo chiederti dal teorema non possiamo concludere molto su f non continua e mi chiedo quindi: se f non è continua potrei avere comunque soluzione (anche non in forma elementare) in certi casi con x che si estende in tutto R? Oppure se non è continua non ho mai soluzione (non so se esista un altro teorema per questo)
Dipende... A volte sì, a volte no.
I casi più semplici sono ancora del tipo "ricerca delle primitive": ad esempio:
\[
y^\prime (x) = f(x)
\]
ha soluzioni globali se:
\[
f(x) = \begin{cases} 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0 \\ 0 &\text{, se } x = 0\end{cases}
\]
ma non ne ha se:
\[
f(x) = \begin{cases} 1 &\text{, se } x\geq 0 \\ 0 &\text{, se } x < 0\end{cases}\; .
\]
ripositore ha scritto:°)mi proponevi questa, però questo è un esempio di equazione lineare.$ y′(x)=e^-(x^2) $
La mia domanda era leggermente differente, provo a esprimerla meglio: se ho una $f(x,y)$ che mi dà una eq. non a variabili separabili (quindi non si può scrivere come $ d(x)*l(y)$) e non lineare; mi chiedo: ci sono casi in cui data una f del genere comunque l'equazione sia risolvibile con altri metodi e ci dà comunque (almeno) una soluzione espressa con funzioni elementari e con $ x in R $?
Non mi vengono esempi in mente.
per questo ipotizzo: vale forse qualcosa tipo, se non è a variabili separabili e lineare => la funzione soluzione non è sicuramente elementare? oppure potrebbe essere che non esiste mai proprio? o forse è elementare e non vale per x in tutto R? (una di queste?)
Per quanto riguarda la questione di metodo, vedi su.
Inoltre, "mai" e "sempre" sono termini che in Matematica vanno usati con parsimonia e solo quando si è sicuri di ciò che si dice (perché c'è un teorema che viene in aiuto).
Al momento non mi vengono esempi "a volo", ci devo pensare.
ripositore ha scritto:°) mi sembra chiaro dal tuo esempio che non posso asserire se eq. è lineare => la soluzione è esprimibile con funzioni elementari.
Tuttavia mi chiedo, se ho una equazione a variabili separabili ottengo sempre una soluzione esprimibile con funzioni elementari e che sia soluzione per ogni x in R? oppure ci sono casi in cui pur essendo esprimibile a variabili separabili ha soluzione:
- non elementare
- oppure una soluzione elementare che non vale per ogni x in R?
(mi pare di no)
Vedi sopra.