fily_killer ha scritto:poiché, per la gerarchia degli infiniti, raccogliendo l'infinito di grado maggiore all'interno dell'argomento del logaritmo si ottiene $log(((\beta−7)x)/x)$, si possono semplificare le x e si ottiene il logaritmo di un valore che è una costante, e dunque non influisce sulla convergenza dell'integrale.
Rileggendo il tuo post, questa parte che hai scritto è errata per due motivi: innanzitutto non puoi arbitrariamente eliminare $1$ al numeratore dell'argomento del logaritmo che non è un infinito, ma un numero; poi è falso che il logaritmo di una costante non influisce sulla convergenza dell'integrale, infatti trattandosi di quantità tutte positive si può scrivere:
$ \int_1^(+infty)1/(sqrt(x))log[((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x))]\text{d}x \le \int_1^(+infty)1/(sqrt(x))log[((\beta-7)x+1)/x]\text{d}x = $
$ = \int_1^(+infty)1/(sqrt(x))log[(\beta-7)+1/x]\text{d}x = \int_1^(+infty)1/(sqrt(x))log[(\beta-7)(1 +1/((\beta - 7)x))]\text{d}x = $
$ = \int_1^(+infty) (log(\beta-7) + log(1 +1/((\beta - 7)x)))/(sqrt(x))\text{d}x $
Come puoi notare il $log(\beta - 7) $ influisce eccome sulla convergenza dell'integrale, che anzi sussiste se e solo se $log(\beta - 7) = 0 \iff \beta - 7 = 1 \iff \beta = 8 $
