Definizione di "equazione differenziale"

[gugo82]

Rileggiti la definizione che ho dato, perché non l'hai capita.
E, ripeto: una EDO non è una funzione.

Poi, con tutta la buona volontà, non mi è chiaro perché ti crei problemi il comporre una $f:RR xx RR -> RR$ con una funzione vettoriale $(t,y(t))$ definita in $]-oo,c[$ ed a valori in $]-oo,c[ xx RR$... Certo, se $]-oo,c[ xx RR$ non fosse contenuto in $RR xx RR$ sarebbe un problema; ma mica è così!?!

[calmierato]

Ho aspettato un po' a rispondere non perché non mi interessasse, rimane una mia priorita capire , però volevo ragionarci qualche giorno prima di dire fesserie. E noto che non ci sono ancora e vorrei gentilmente chiederti ulteriore aiuto. Ho provato a riformulare un po' i dubbi...

Sì, in effetti sono stato poco preciso: diciamo che la edo è il problema ma io mi appoggio su quella dannata F che non riesco a farmi tornare il perché sia definita, come nel caso specifico in $f:RRxxRR->RR$

Il punto non è tanto che mi dia fastidio $f:(−∞,c)×RR→RR$
Per passi:
- inizialmente dico che è $ f:RR×RR→RR$
- scopro che $y:(−∞,c)→(0,+∞)$
- allora f è: $f:(−∞,c)×RR→RR$
- qui viene il probema, ma se $f:(−∞,c)×RR→RR$ allora quello che dicevo all'inzio come assunzione iniziale è sbagliata $ f:RR×RR→RR$ perché non è una f corretta quella detta.

In sostanza quello che vglio dire è questo: $f:RR×RR→RR$ è una $f(t,y(t))=y^2$, in effetti t, messa così, corre su tutto $RR$ efin qui ci siamo. Tuttavia essendo y funzione di t: y(t), allora $f(t,y(t))=g(t)$ cioè in realtà è tutta funzione di t, se io scopro che $y:(−∞,c)→(0,+∞)$ noto che le $t in (-oo,c)$ ergo $g(t)$ ha dominio nelle t per cui vale la soluzione quindi $t in (-oo,c)$ e non $t in RR$ e quindi ancora $f(t,y(t))$ non può essere $f:RR×RR→RR$ (ho appena detto che le t corrono da -oo a c!) ma essere solo e soltanto $f:(−∞,c)×RR→RR$.

E il mio dubbio è quindi: ma perché invece all'inizio dico $f:RR×RR→RR$ che è FALSO?

[gugo82]

L'ho già consigliato di andarti a studiare di nuovo il la nozione di funzione composta, no?!?
Ed anche di capire la definizione di EDO che ho dato, no?!?

Ecco, fallo.
E, dato che ci sei, anche una lettura della nozione di restrizione non sarebbe inappropriata.

[calmierato]

Mi viene da piangere perché in questi due giorni me le sono già rilette penso 10 volte e darei la stessa risposta che avreevo dato nella pagina precedente (su composizione e cosa è una funzione) QUI: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9#p8666969 è così sbagliata? io ti giuro che non trovo l'errore in quanto ho scritto nel post di quel link. Mi vien voglia di sbattere la testa sul muro!

E anche la definizione di EDO a me sembra chiara, la edo è il problema di trovare le funzioni soluzione con i relativi domini per cui rispettino i tre punti del tuo post.

Aggungo inoltre quello che so della restrizione: data una funzione $h:A->B$ e un sottoinsieme di A, sia esso K. Diciamo restrizione la funzione $h':K->B$ con $h'(x)=h(x) forall x in K$

Ti chiedo qundi se puoi per favore darmi uno spunto o un puno preciso dove ho sbagliato nelle definizioni che ho dato, perché veramente, a me sembrano chiare e invece a quanto pare sbaglio ma non capisco dove.

Da fuori forse non sembra, e sicuramente non puoi avermi visto farlo, ma ti garantisco che ci ragiono da giorni. Prima di scrivere mi faccio mille domande e mi do risposte (errate a quanto pare), ma ci ho ragonato tanto e continuo a farlo.

[gugo82]

Gli spunti ti sono stati dati, così come le indicazioni su cosa sbagli.
Ma il problema è che dimostri di non aver chiari i fondamentali... Quelli vanno fissati quando si comincia, perché dopo è un casino.

Facciamo così: ragioniamo su un esempio concreto.
Cos'è l'equazione differenziale:
\[
y^\prime (t) = \frac{y(t)}{t}\; ?
\]


P.S.: Ah, tieni anche presente che queste EDO sono in forma normale, cioè $y'(t) = f(t,y(t))$, che è un po' meno generale della forma implicita $F(t, y(t),y'(t))=0$.

P.P.S.: Da che libro studi?

[calmierato]

Ti ringrazio gugo82!

Gli spunti ti sono stati dati, così come le indicazioni su cosa sbagli.
Ma il problema è che dimostri di non aver chiari i fondamentali... Quelli vanno fissati quando si comincia, perché dopo è un casino.

questo l'ho compreso, ma potrei chiederti cosa sbaglio sui fondamentali? Perché non voglio fare le cose fatte male, e voglio davvero davverissimo capire cosa sbaglio.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Scusa, ma sai cos'è una funzione?
Sai che non se ne può cambiare arbitrariamente il dominio o il codominio e sperare di avere sempre lo stesso oggetto tra le mani?

mi sembra di sì per entrambe. Vediamo:
Una funzione è una relazione "f" ossia un sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB, detti nello specifico A dominio e B codominio della funzione, che rispetti la definizione seguente: per ogni a in A esiste unico b in B t.c $(a,b) in f$. data l'unicità di b in relazione con la data f e la a è in uso scrivere: per ogni a in A esiste unico b in B t.c $f(a)=b$.

Certamente non si può cambiare dominio e codominio ed è quello su cui stavo puntalizzando in tutta questa discussione. Non mi torna che a priori si diano un dominio e codominio che poi alla fin fine sono sbagliati per il problema,e quindi non mi torna la definizione di equazione differenziale con quella funzione F che si da all'inizio per il motivo che tu evidenzi , questo è l'assurdo.
Però provo a chiarire meglio perché probabilmente sbaglio qualcosa di talmente stupido che non riesco a farti capire il mio dubbio.

Il problema è che ti manca la chiarezza sui fatti algebrici di base (come si fa e sotto quali condizioni è possibile la composizione di funzioni)

anche qua, vado sempre a memoria come sopra, ma mi sembra id averle abbastanza in mente queste cose, vediamo:
la composizione $f∘g$ è possibile se il codominio di g è contenuto nel dominio di f, o meglio basta che il dominio di f contenga l'immagine di g. Inoltre posso fare un passetto in più e dire che il dominio di $f∘g$ è l'insieme ${x| x in dom(f) t.c f(x) in dom(g)}$.

Il discorso che faccio sopra per una variabile è il seguente:
- immaginiamo $F: A ->RR$ e $g: B -> im(g)=L$ (ove F ha la funzione di F e g la funzione delle u)
- quando scrivo $(F∘g)(x)=F(g(x)):B->RR$ e se guardo la F di tale composizione $F(g(x))$ ho che $F: A ->RR$ ma potrei benissimo restringere il dominio alla immagine di g e dire che $F': L ->RR$ (poco male).
Inoltre il fatto che $im(g)=L$ possa essere più piccolo dell'insieme $A$ dominio di F non ci tange minimamente, F rimane sempre $F: A ->RR$ perché come ribadito "basta che il dominio di F contenga l'immagine di g per avere composizione".



Aggungo inoltre quello che so della restrizione: data una funzione $h:A->B$ e un sottoinsieme di A, sia esso K. Diciamo restrizione la funzione $h':K->B$ con $h'(x)=h(x) forall x in K$

Facciamo così: ragioniamo su un esempio concreto.
Cos'è l'equazione differenziale:
\[
y^\prime (t) = \frac{y(t)}{t}\; ?
\]

l'equazione differenziale in esame, in forma normale, il che mi crea un piccolo dubbio sul fatto che non so come gestire il fatto che non ho un intervallo: data $f(t,y(t))=y/t$, ho $f:(-oo,0)∪(0,+oo)xxRR->RR$, vorrei chiederti: come lo risolvo in tal caso?
Mi piacerebbe dare una definizione simile anche per:
data $f(t,y(t))=y/t$, ho $f:(-oo,0)∪(0,+oo)xxRR->RR$ e dire quindi, l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli $A$ tali che bla bla bla....
Però avendo una cosa che non è un intevallo mi manda in crisi.


Se però la porto in forma generale: $y'*t-y=0$ ho $F(t,y,y')=0$ quindi direi $F:RR^3->RR$ e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR$, iii) $forall t∈A => F(t,y,y')=0$


PS: Uso il canuto tabacco, ma credo che il problema sia mia più che del libro in sé. Perché come dicevo ho letto e riletto e letto le definizioni che mi hai indicato e usato la tua bella definizione di EDO. E mi ritrovo con quei dubbi, quindi più che la fonte sbaglio io!


PPS: credo invece di aver capito solo ora cosa dicevi riguardo la composizione.
Quello che pensavo era che dovevo comporre solo la soluzione y (e non il vettore (t,y) )con la f e anche un po' il fatto che non ho ancora studiato la composizione di funzioni a due variabili (sto facendo analisi 1) e quindi mi sa che ho fatto dei pasticci. La mia idea mi pare giusta ma compivo un errore madornale che credo di aver individuato in quanto segue:
Come dicevo essendo f funzione di f e di t posso renderla come una unica funzione g di t: $f(t,y(t))=g(t)$, questo in effetti posso farlo componendo con una funzione vettoriale $(t,y(t))$ definita in $]−∞,c[$ ed a valori in $]−∞,c[×RR$, otterrei così la g(t) con $t in ]−∞,c[$, il punto è che non avendo dimestichezza con la composizione di funzioni a più variabili io componenvo poi f con la sola $y(t)$ e quindi dicevo il fatto che la $y:(−∞,c)→(0,+∞)⊆R$ non ci crea problemi sulla seconda R del prodotto cartesiano in $f:*xxRR->RR$ (infatti l'immagine di y sta in R del secondo prodotto cartesiano del dominio della funzione f esterna e la compongo senza problemi) tuttavia non sapevo come gestire la parte che indico con $*$. Questo perché la f inizialmente la definivo come $f:RRxxRR->RR$, ma ora avendo $t in ]−∞,c[$ mi accorgevo che dovevo in qualche modo restringere l'intervallo su cui valevano le t e quindi prendevo una funzione ristretta $f':]−∞,c[xxRR->RR$ e mi dicevo: "ok bell'affare che ho fatto ma così variando il dominio non ho più la funzione iniziale! se cambio dominio cambio funzione!"
Il punto fondamentale era invece che $f:RRxxRR->RR$ è la funzione esterna e proprio come per quelle a una variabile mi basta che il dominio della funzione esterna contenga l'immagine di quella interna, e la funzione interna è quella vettoriale: $k:=(t,y(t))$ quindi $k: ]−∞,c[ -> ]−∞,c[×RR$
e il gioco è fatto:
- $f:RRxxRR->RR$
- la posso comporre con la funzine vettoriale e otterei la $g(t)$ che dicevo $f∘k:]−∞,c[->RR$
- infine posso definire una f' ristretta $f':(−∞,c)×(0,+oo)→R$ che ha per dominio esattamente l'immagine della funzione vettoriale.
Mi sembra che questo finalmente ora sia giusto! vero?

[gugo82]

@calmierato: E chi ha detto che sbagli?

Ho detto che non li hai chiari... E lo dimostra il semplice fatto che consideri come caso "a parte" la composizione di funzioni di due variabili, quando è sempre la stessa cosa.

Quello che hai scritto nel P.P.S. è corretto, fino all'ultimo punto dell'elenco in cui perdi lucidità. Cosa te ne vorresti fare precisamente di $g$ (come l'hai chiamata più sopra, o $f'$ come l'hai chiamata poi)? Perché ti pare così importante?
Quella funzione composta è quella che ti consente di "fare la verifica", cioè di testare che una funzione che hai trovato sia davvero una soluzione: una $y:I -> RR$ derivabile in $I$ è soluzione se e solo se $y'(t) = f(t,y(t)) = g(t)$ per ogni $t in I$. Quindi è ovvio che essa debba avere dominio $I$, così com'è ovvio che essa è una funzione composta e che $f$ è la sua componente più esterna (quindi il dominio di $f$ è tenuto solo a soddisfare la condizione di componibilità, mica ad essere definita per forza nello stesso $I$ di $y$!?!).

Per quanto riguarda il resto, il fatto che $f$ non abbia dominio del tipo $I xx RR$ si gestisce in maniera del tutto ovvia, cioè generalizzando la definizione. Prova.

[calmierato]

Ciao Gugo82, grazie per la risposta. Ieri purtroppo non sono riuscito a scrivere qui perché sono tornato a casa deflagrato D: alle 9.30pm avendo avuto il lab di fisica 1 + viggio e non ho avuto la forza mentale di connettermi. Recupero oggi che arrivo ad un orario più umano!

Cosa te ne vorresti fare precisamente di g (come l'hai chiamata più sopra, o f' come l'hai chiamata poi)? Perché ti pare così importante?

per resettare la nomeclatura:
- con g intendo $f(t,y(t))=g(t)$ cioè $g:=f∘k$, ove $ k:=(t,y(t))$ e $f∘k:]−∞,c[→R$.
- con f' la restrizione di f (funzione esterna): $f':(−∞,c)×(0,+∞)→R$.
Chiarito ciò ti rispondo alla utile domanda che poni: in realtà non volevo farmene nulla, l'ho scritta per dire che quella f' che prima ritenenvo fondamentale (nelle pagine addietro) in realtà non lo era minimamente, e che f non coincideva con f'. Era solo una osservazione aggiuntiva¹ che esisteva e non era quella che prima ritenevo (erroneamente) f.

una y:I→R derivabile in I è soluzione se e solo se y'(t)=f(t,y(t))=g(t) per ogni t∈I. Quindi è ovvio che [...] essa è una funzione composta

bellissima osservazione, che dall'inizio non ho fatto e quindi mi ha portato fuori strada: $y'(t)=f(t,y(t))=g(t)$! Scrivendolo in modo esteso avrei dovuto capirlo fin da subito che era una composizione, ma mi sono inerpicato in sentieri pieni di ginepri!

(quindi il dominio di f è tenuto solo a soddisfare la condizione di componibilità, mica ad essere definita per forza nello stesso I di y!?!)

sì, certo, basta che f abbia dominio che include l'immagine della funione vettoriale interna!



quanto al resto:
a)

il fatto che f non abbia dominio del tipo I×R si gestisce in maniera del tutto ovvia, cioè generalizzando la definizione. Prova.

riprendendo l'esercizio del tuo ultimo messaggio, come dicevo potrei portarla in forma normale

Se però la porto in forma generale: $y'*t-y=0$ ho $F(t,y,y')=0$ quindi $F:W⊆RR^3->RR$ e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR$, iii) $forall t, t∈A => F(t,y,y')=0$

oppure come suggerisci generalizzare, quindi farei così (**): data $y'=y/t=f(t,y(t))$ ho $f:W⊆RR^2->RR$ e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli di definizione $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR-{0}=proj_1W$, iii) $forall t∈A, F(t,y,y')=0$

b) generalizzando il generalizzato mi pare che anche nel caso in cui io abbia una eq. diff. non in forma normale² del tipo:
$y^(k)+...+y^(n)/t+....=0$ posso dire che ho $F:(-oo,0)∪(0,+oo)xxRR^(k+1)->RR$ ($F:W->RR$) e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli di definizione $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR-{0}=proj_1W$, iii) $forall t∈A, F(t,y,y')=0$


c) Qui rimane un ultimo dubbio che mi è sorto ragionando su queste cose, siccome sappiamo che la soluzione y(t) ha per dominio un intervallo, se io avessi $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ a qeusto punto mi si crea il dilemma che $yinRR-{0}$ che evidentmente non è un intervallo e decade la definizione di equazione differenziale consona. In questo caso, data questa equazione, per renderla equazione differenziale, mi chiedo, devo dare la sua espressioen $y^(k)+...+y^(n)+....+1/y+.....=0$ ma aggiungere anche ad essa che $yin(-oo,0)$ oppure $yin(0,+oo)$? Cioè devo dare anche "l'intervallo di lavoro" immagino.

d) Infine mi chiedo, se avessi invece qualcosa del tipo: $y^(k)=(...)*y$ mi verrebbe da dire che ho una equazione differenziale con $f:W⊆RR^2->RR$ (**) e l'equazione differenziale è il problema di trovare la soluzione $y(t)$ con i suoi intervalli di definizione $A$ tali che i) y sia derivabile almeno 2 volte, ii) $A⊆RR=proj_1W$, iii) $forall t∈A, F(t,y,y')=0$.
però, se la porto nella forma generale ho: $y^(k)/y-(...)=0$ che evidentemente mi si riporta nel caso precedente di non avere un intervallo. Da questo dico, la definizione di equazione differenziale data come in (**) mi sembra pericolosa perché potrebbe portare a questo errore.

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Note

1. (ma non c'entra con i punti precedenti di quell'elenco) ↑
2. in forma anormale ↑

[gugo82]

Guarda che come si faccia la generalizzazione l'ho scritto in nota nella definizione che hai citato all'inizio.
Non l'hai letta?

[calmierato]

Ammetto che quotando non mi ero accorto che era finita sotto una parte (nota). L'ho letta ed era l'idea che avevo, solo che l'ho partorita male.

Ho modificato il precedente rendendo l'idea che avevo (punt a e b) che mi pare ora coincidano con quello che hai scritto. Rimangono però mi pare i dubbi su c) d) se hai voglia di leggere di nuovo il precedente.

grazie mille, e scusa la svista che ho fatto nel precedente.