pilloeffe ha scritto:Ciao nico_engineering_dd,
Per la prima serie proposta $\sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/(2 + x^n) $ si vede subito che converge a $0$ per $x = 0$, mentre non converge per $x = \pm 1 $. Poi si potrebbe anche osservare che posto $a_n(x) := x^n/(2 + x^n) $ si ha:
$\lim_{n \to +\infty} a_n(x) = \lim_{n \to +\infty} 1/(1 + 2/x^n) $
Per la condizione necessaria di convergenza di Cauchy è necessario che l'ultimo limite scritto risulti nullo e ciò accade se $|x| < 1 $. Per $|x| < 1 $ si può scrivere:
$\sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/(2 + x^n) \le \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/2 = 1/2 \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n = 1/2 (\sum_{n = 0}^{+\infty} x^n - 1) = 1/2 (1/(1 - x) - 1) = x/(2(1 - x)) $
Grazie innanzitutto per la risposta. Per quanto riguarda la non convergenza per x= +-1 mi trovo poichè ho ragionato pensando al limite per x-> infinito del carattere generale della serie. Ma per quanto riguarda la convergenza in x=0 come fai a concluderlo subito? Io direi, sempre studiando il carattere generale, che per $x=0$ e il limite fa zero dunque ci può essere una potenziale convergenza, ma poi penserei sempre di dimostrare tale convergenza aiutandomi con i criteri a disposizione, non capisco come fai a concluderlo subito. Inoltre per gli altri casi di convergenza stavo pensando altre soluzioni in quanto nel corso di studi non ci è stato spiegato il criterio di Cauchy, e ho ragionato in questo modo :
Considerando che in un intorno di infinito per $|x|>1 $ le potenze sono infiniti il limite tenderà a 1 e non c'è convergenza . Per $x = +-1$ non c'è convergenza e me ne accorgo semplicemente sostituendo nel limite . Per $|x|<1$ le potenze sono infinitesime dunque il limite farà 0 e può esserci convergenza , poi però la dimostro con il criterio della radice il quale mi darà come risultato un limite pari a $|x| $, e quindi sfruttando il criterio so che ci sarà convergenza quando $|x|<1 $ . Non credo che sia sbagliato il mio ragionamento, ma probabilmente non è applicabile cosi facilmente ad ogni serie di questo tipo in quanto ora avevo un termine generale abbastanza facile da capire come si comportasse in un intorno di infinito, permettendomi quindi di dedurre i diversi casi di analisi per la convergenza. Ma se non è cosi come faccio a dedurlo, c'è qualche passo standard per analizzare i vari casi in fretta?
ad esempio per questa come ragionereste?
$\sum_{n=1}^oo sin(x^n)/(1+x)^n$
Io ho pensato di applicarmi direttamente il criterio della radice riscrivendo $sin(x^n)$ come $ (1)^n$ in quanto funzione che oscilla tra -1 e 1 e di applicare il modulo alla x quindi fare $lim_(n->oo)((-1)^n/(1+|x|)^n)^(1/n)$ ma cosi' facendo dovrei arrivare a questo risultato $-1/(1+|x|) $ che mi risulta $ <1 AA R $ , ma non mi trovo con il risultato del libro
