Quindi sono qui per chiedere a qualche volenterosa anima pia di darmi una mano a comprendere un concetto che mi manda ai matti. vediamo:
La definizione che leggevo è questa:
gugo82 ha scritto:Siano \(I\subseteq \mathbb{R}\) un intervallo ed \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\).
Si chiama equazione differenziale ordinaria (in breve EDO) d'ordine \(n\) il problema di determinare se esistono ed, eventualmente, calcolarli esplicitamente tutti gli intervalli $U$ e le funzioni \(u:U\to \mathbb{R}\) tali che:
- $U sube I$ con $U$ non ridotto ad un solo punto;
- \(u\) è derivabile almeno \(n\) volte in \(U\);
- per ogni \(t \in U\) risulta \(F(t,u(t),u^\prime (t),\ldots, u^{(n)}(t))=0\).
Tale problema si indica in maniera più concisa scrivendo semplicemente \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).
Ogni funzione \(u\) che soddisfa le 1-3 si chiama soluzione (od anche integrale) della EDO \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).1
La classe \(\{u \text{ è soluzione di } F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\}\) si chiama integrale generale della EDO \(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\).
Mi sembra quindi chiaro che l'insieme U dominio della u sia una incognita del problema.
Tuttavia se fin dall'inizio dico che l'equazione differenziale è la funzione \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\), mi trovo confuso perché le varie u non è detto siano funzione $u:RR->RR$ poiché $U!=RR$ in generale. Quindi a priori perché prendo $R^{n+1}$
Faccio anche un esempio concreto dal mio prof: sia $y'=y^2$ che ha soluzione $y(t)=-1/(c+t)$.
L'equazione differenziale dice che è $f(x,y)=y2$ è una f da $f:RR×RR→RR$ ma qui si riscontra il problema che dicevo prima perché in realtà $y:(-oo,c)->RR$ e poiché t deve stare in $U$. Allora: $f:(-∞,−c)×RR→RR$
E anzi dirò di più dato che l'immagine di y è $(0,oo)$ mi pare che la funzione f (che definisce l'equazione differenziale) deve essere $f:(-∞,−c)×(0,oo)→RR$
Detto brevemente, non capisco perché dico che l'equazione differenziale è la funzione \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}\) (*) (\(F(t,u,u^\prime, \ldots ,u^{(n)})=0\))per cui ho il problema di trovare i punti del quote. A me pare sbagliato a priori dire che è una funzione definita su quegli insiemi, perché a priori non so gli insiemi U e quindi non è la funzione (*)
- L’insieme $I xx RR^(n+1)$ di definizione di $F$ potrebbe essere rimpiazzato con un qualsiasi aperto $Omega sube RR^(n+2)$; in tal caso, l’intervallo $ U$ di definizione della soluzione $u$ dovrebbe soddisfare la condizione $U sube text(proj)_1 Omega$ (in cui $text(proj)_1$ denota la proiezione lungo il primo asse coordinato).
In ogni caso, però, l’insieme di definizione della soluzione $u$ è anch’esso (e non potrebbe essere altrimenti, vista la definizione di funzione) un’incognita del problema. ↑
. Ho corretto aggiungendolo in grassetto.
. Volevo riuscire a capire queste cose.