teorema di weierstrass

[axpgn]

... e quindi in quel punto si annulla la derivata CVD

[piero1987]

a ok.. certo. la mia funzione è crescente nell'intervallo che va da 1 a $3/2$ e da 3/2 a 2

[stormy]

ma molto più semplicemente ,una funzione continua e strettamente crescente in $[a,b]$ è ovvio che abbia minimo assoluto in $a$ e massimo assoluto in $b$

[piero1987]

si infatti molto semplicemente seguivo il teorema.

ti ringrazio per la cortesia.

ciao ciao Piero

[asromavale]

riporto in allegato il teorema di weierstrass così come viene dimostrato sul mio testo di riferimento nella speranza che qualcuno possa chiarire i miei dubbi.
1)perchè dice che per le proprietà dell' estremo superiore per ogni n appartenente ad N esiste $x_n$ appartenente ad [a,b] tale che $f(x_n)>n$? per le proprietà dell' estremo superiore non dovrebbe esistere x (e non $ x_n$) appartenente ad [a,b] tale che $f(x)>n$ comunque prendo n?
2)supposto che questo $x_n$ esista perchè questo implicherebbe che $f(x_n)\rightarrow+oo$?
3)non capisco quando asserisce "abbiamo così dimostrato che necessariamente risulta $M<+oo$" perche'?

[asromavale]

in allegato la seconda parte della dimostrazione

[gugo82]

riporto in allegato il teorema di weierstrass così come viene dimostrato sul mio testo di riferimento nella speranza che qualcuno possa chiarire i miei dubbi.
1)perchè dice che per le proprietà dell' estremo superiore per ogni n appartenente ad N esiste $x_n$ appartenente ad [a,b] tale che $f(x_n)>n$? per le proprietà dell' estremo superiore non dovrebbe esistere x (e non $ x_n$) appartenente ad [a,b] tale che $f(x)>n$ comunque prendo n?

Per la seconda proprietà dell'estremo superiore, se \(\sup f = +\infty\) in corrispondenza di ogni \(\epsilon >0\) è possibile determinare \(x\) nel tuo insieme in modo che \(f(x)>\epsilon\). Ovviamente l'elemento \(x\) dipende dalla scelta di \(\epsilon\) (anche se non in maniera "funzionale"): quindi si può dire che esso è un \(x_\epsilon\).
Se scegli di far variare \(\epsilon\) tra i numeri naturali, è evidente che in corrispondenza di ogni \(n\in \mathbb{N}\) troverai un \(x_n\) tale che \(f(x_n)>n\).
In tal modo riesci a costruire una successione \((x_n)\) di punti del tuo insieme tali che \(f(x_n)>n\) per ogni indice \(n\).

2)supposto che questo $x_n$ esista perchè questo implicherebbe che $f(x_n)\rightarrow+oo$?

Beh, cosa succede passando la disuguaglianza tra successioni \(f(x_n)>n\) al limite su \(n\)? (Ricorda i teoremi di confronto).

3)non capisco quando asserisce "abbiamo così dimostrato che necessariamente risulta $M<+oo$" perche'?

Dato che l'insieme è compatto, dalla successione \((x_n)\) ne puoi estrarre una, chiamiamola \((x_{n_k})\) convergente ad un punto \(x\) del tuo insieme e, dato che \(f\) è continua, hai:
\[
lim_k f(x_{n_k}) = f(\lim_k x_{n_k}) = f(x)\; ;
\]
quindi la successione di termine generale \(f(x_{n_k})\), che è estratta da \((f(x_n))\), converge verso \(f(x)\) (che è un numero reale); ma, per il punto precedente, risulta:
\[
\lim_n f(x_n) = +\infty
\]
e dunque il teorema sulle successioni estratte implica che:
\[
\lim_k f(x_{n_k}) = +\infty\; ;
\]
ma ciò è assurdo, perché \((f(x_{n_k}))\) non può avere due limiti differenti.

Pertanto \(\sup f\) non può essre \(=+\infty\) come ipotizzato all'inizio; cioé \(\sup f=M<+\infty\).

[asromavale]

tutto chiaro tranne quando dici "quindi la successione di termine generale \( f(x_{n_k}) \), che è estratta da \( (f(x_n)) \), converge verso \( f(x) \) (che è un numero reale)"perchè è un numero reale? $f(x)$ non potrebbe essere $+oo$

[gugo82]

Hai mai visto funzioni reali che prendono il valore \(+\infty\)?
Io no.

[asromavale]

ok grazie mille