Siano \(f,g:[a,b]\to \mathbb{R}\) funzioni continue in \([a,b]\) e derivbili in \(]a,b[\).
Esiste un punto \(\theta \in ]a,b[\) tale che:
\[
\tag{C}
f^\prime (\theta)\cdot \big( g(b)-g(a)\big) = g^\prime (\theta)\cdot \big( f(b)-f(a)\big)\; .
\]
inoltre, se \(g^\prime (x)\neq 0\) per ogni \(x\in ]a,b[\), allora vale la formula degli incrementi finiti:
\[
\frac{f^\prime (\theta)}{g^\prime (\theta)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\; .
\]
La dimostrazione, come evidente, si fa applicando il teorema di Rolle alla funzione ausiliaria \( \psi (x):= \big( f(b) - f(a)\big)\cdot \big( g(x) - g(a)\big) - \big( g(b) - g(a)\big)\cdot \big( f(x) - f(a)\big)\); e l'ipotesi ulteriore \(g^\prime (x)\neq 0\) assicura che \(g(b)\neq g(a)\) (ché altrimenti scatterebbe Rolle!), sicché in tale ipotesi la formula degli incrementi finiti si ottiene con una semplice divisione m.a.m. dalla (C).
Tuttavia, leggo su un fascicolo un enunciato un po' differente:
[Stesse assunzoini iniziali su \(f\) e \(g\) di prima.]
Se \(f^\prime\) e \(g^\prime\) non hanno zeri in comune in \(]a,b[\), allora esiste un punto \(\theta \in ]a,b[\) tale che:
\[
\frac{f^\prime (\theta)}{g^\prime (\theta)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\; .
\]
Tale enunciato mi è parso un po' strano, poiché non vedo come l'ipotesi in cui \(f^\prime\) e \(g^\prime\) non abbiano zeri in comune riesca a garantire la possibilità di effettuare divisioni per \(g^\prime (\theta)\) e/o per \(g(b)-g(a)\)...
Qualche idea?