formule di green

[alessandrof10]

ciao ragazzi sto studiando le formule di green ma non riesco a capire geometricamente come un integrale doppio o triplo cioè aree o volume possono essere uguale a superfici lungo la frontiera della stessa curva

esempio prendendo la circonferenza unitaria la sua superficie e $pi$ come fai a dire che quest area è uguale alla superficie lungo la circonferenza (integrale curvilineo) ??

[dissonance]

Infatti sono formule "magiche". Anche io trovo che non siano per niente ovvie.

EDIT: Non guardare qua sotto, non è corretto, ho scritto di fretta e ho fatto qualche pasticcio. Ora non ho il tempo, più tardi lo rivedo e lo riscrivo bene.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Nel caso dell'area della circonferenza, prova a ragionare in termini di infinitesimi. L'integrale sul bordo della circonferenza, alla fine dei conti, si riduce a questo:
\[
\frac{R}{2}\int_0^{2\pi} \, d\theta, \]
dove $R$ è il raggio. Il "singolo addendo" \(\frac{R}{2}\, d\theta\) è l'area di un settore circolare di ampiezza \(d\theta\): infatti, quando \(d\theta\) è molto piccolo, il settore circolare è essenzialmente un triangolo isoscele di altezza \(R\) e base \(d\theta\). Ecco quindi che questo integrale ti dà l'area del cerchio di raggio \(R\), perché è la "somma" di tutti i settori circolari che lo compongono.

Tutto questo è molto fantasioso, serve solo a sviluppare un po' di intuizione.

[alessandrof10]

dissonance grazie della risposta ma quello che tu hai scritto e la spiegazione dell integrale doppio in coordinate polari in cui consideri la funzione uguale a 1. mentre se ho capito bene integrale curvilineo è un integrale che calcola superficii ma che ha come base diciamo ( a differenza degli integrali unidimensionali classici che hanno come base asse x ) una curva e che si sviluppano lungo asse z di altezza 1 .Se ho capito bene queste formule mi dicono che l area della circonferenza è $pi$ mentre con integrale curvilineo io calcolo diciamo la superficie di un cilindro di altezza 1 che ha proprio $pi$ come superficie giusto ??

[dissonance]

E no perché quelli che dici tu sono gli integrali delle funzioni. La formula di Gauss-Green riguarda gli integrali delle forme differenziali. E' diverso, bisogna ragionarci un po' su. Vedi qua per esempio:

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