Problema di Cauchy $x' = 2\sqrt{|x|}$

[giggiotb]

Salve a tutti, vorrei chiedervi aiuto con un esercizio sulle equazioni differenziali. So che probabilmente avrò fatto un errore stupidissimo, come qualche segno sbagliato, ma non riesco a capacitarmi di dove sia il problema. Ecco la traccia:
In quanto tempo la soluzione di
\[
\begin{cases}
x'=2\sqrt{|x|}\\
x(0)=-1
\end{cases}
\]
raggiunge l'equilibrio $ x=0 $ ? Quante soluzioni ha questo problema di Cauchy?

Ovviamente è un equazione autonoma, quindi si può risolvere similmente a un equazione a variabili separabili. Alla fine mi usciva che
\[
\sqrt{|x(t)|} - 1 = t \rightarrow \sqrt{|x(t)|} = t+1 \wedge t>-1 \,\,\,\text{ *}
\]
A questo punto direi che $ x(t) = -(t+1)^2 $ , altrimenti non sarebbe vero che $x(0) = -1$ . Ora ciò che non capisco è questo: se calcolo la derivata di questa soluzione ottengo $x'(t) = -2(t+1)$ che è negativa per ogni $t> -1$ , mentre l'equazione differenziale mi dice che questa dovrebbe essere positiva!
Un altro ulteriore elemento di confusione è che gli appunti del prof mi dicono che, per capire in quale intervallo di tempo esiste la soluzione di un'equazione autonoma, detta $(x_-,x_+)$ la componente connessa di $\mathbb{R}$ in cui $f(x)$ non tocca lo zero, contenente il punto $x(0)$ (ammesso sempre che $x(0) \ne 0$ ), si calcolano gli integrali impropri
\[
\int_{x(0)}^{x_-} \frac{dy}{f(y)}= l^- \text{ e } \int_{x(0)}^{x_+} \frac{dy}{f(y)}=l^+
\]
Se questi limiti sono infiniti, allora $x(t)$ esiste ed è unica per ogni $t \in \mathbb{R}$. Altrimenti vuol dire che la soluzione trovata raggiunge l'equilibrio $x=0$ in un tempo finito, e allora si perde l'unicità della soluzione (anche questa cosa non mi è chiara. Quale sarebbe l'altra soluzione del problema di Cauchy di sopra? Non la funzione identicamente nulla su tutto $mathbb{R}$, per la quale non si ha $x(0) = -1$... E allora quale?)
Il punto è che, essendo $(x_-,x_+) = (-\infty, 0)$, trovo che gli integrali impropri di sopra sono pari rispettivamente a $-\infty$ e $-1$, e quindi l'intervallo di unicità della soluzione sarebbe per $t\in (-\infty, -1)$, ma sappiamo da sopra che deve necessariamente aversi $t\in (-1, \infty)$ per $\text{*}$. Per di più, $(-\infty, -1)$ non contiene neanche il punto iniziale $t=0$.
In pratica sto impazzendo da stamattina. Forse mi sono perso in un bicchiere d'acqua, ma dal quale non riesco a venire fuori. Forse è anche che questi appunti sono scritti male e penso in modo molto impreciso.
Qualcuno mi può aiutare? Grazie mille a tutti!

[giggiotb]

Ho capito l'errore dov'era! In ogni caso, metto la soluzione in spoiler così chi volesse può tentare di risolvere l'esercizio/trovare l'errore nel mio ragionamento precedente da solo.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Non avevo pensato a sufficienza a quel valore assoluto sotto radice...
Dalla traccia discende che, se $x: I \rightarrow J$ (dove $J \subseteq (x_-,x_+)$ e quest'ultima è la componente connessa alla quale appartiene $x(0)=-1$ nella quale $2\sqrt{|x|}$ non si annulla) è una soluzione, allora dev'essere:
\[
\frac{x'(t)}{2\sqrt{|x(t)|}}=1
\Rightarrow
\int_0^t \frac{x'(s)}{2\sqrt{|x(s)|}} ds = t
\Rightarrow
\int_{-1}^{x(t)} \frac{dy}{2\sqrt{|y|}} = \int_{-1}^{x(t)} \frac{dy}{2\sqrt{-y}} = (-\sqrt{-y}) \, \big|_{-1}^{x(t)} = \\
-\sqrt{|y|} \, \big|_{-1}^{x(t)} = t
\]
e non $\sqrt{|y|} |_{-1}^{x(t)} $ , come avevo scritto io prima! Da ciò deriva che:
\[
\sqrt{|-1|} - \sqrt{|x(t)|} = t
\,\, \Rightarrow \,\,
\sqrt{|x(t)|} = 1 - t \,\,\, \text{( possibile solo se } t \le 1)
\,\, \Rightarrow \\
\Rightarrow \,\, x(t) = - (1-t)^2 \, \text{ dato che } x(t)<0
\]
Anche la faccenda degli integrali impropri va al suo posto e, infatti, questi due mi escono proprio $-\infty$ e $1$. Quindi la risposta alla prima domanda è $1$

Alla seconda domanda invece ho ancora da lavorare. Intanto mi piacerebbe sapere voi cosa pensate del tutto.