sono alle prese con un esercizio del Rudin: ( Real and complex analysis )
"Does there exist an infinite $\sigma$-algebra which has only countably many members?"
Che io ho tradotto così:
"Esiste una $\sigma$-algebra infinita che possiede solamente insiemi numerabili?"
E ho detto, mah,
, sì, perché abbiamo l'insieme delle parti di $NN$. Ho pensato quindi che ho sbagliato a tradurre, infatti in rete ho trovato questo esercizio:"Esiste una $\sigma$-algebra infinita e numerabile?"
E mi sono quindi focalizzata su quest'ultimo. Ho assunto che la risposta sia negativa, perciò ho pensato di procedere per assurdo supponendo l'esistenza di tale $\sigma$-algebra infinita e numerabile.
Ora, se solo riuscissi, non so ancora come, a costruire una catena strettamente decrescente per inclusione di sottoinsiemi misurabili:
$E_0 sup E_1 sup E_2 sup ...E_n sup...$
potrei poi definire $AA i$ gli insiemi disgiunti $F_i=E_i-E_{i+1}$ che sarebbero in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali. Se considero quindi ogni possibile insieme ottenibile dall'unione degli $F_i$ (che appartiene ancora alla $\sigma$-algebra) otterrò tutti i sottoinsiemi appartenenti all'insieme delle parti di $NN$.
La $\sigma$-algebra sarebbe dunque non numerabile, poiché conterrebbe l'insieme delle parti di $NN$, e da qui l'assurdo.
Mi chiedo, come costruire $E_0 sup E_1 sup E_2 sup ...E_n sup...$? Qualcuno ha suggerimenti?
